Diferentes formas de concebir la derivada

Question

En su artículo filosófico "On Proof and Progress in Mathematics" (Sobre la demostración y el progreso en matemáticas), Thurston señala que los matemáticos a menudo piensan en una misma pieza matemática de muchas formas distintas. Como ejemplo, señala el concepto de la derivada de una función y ofrece siete formas elementales diferentes de pensar en él:

(1) Infinitesimal: la relación entre el cambio infinitesimal en el valor de una función y el cambio infinitesimal en una función.
(2) Simbólico: la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$ la derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$ la derivada de $f \circ g$ es $f' \circ g * g'$ etc.
(3) Lógico: $f'(x) = d$ si y sólo si para cada $\epsilon$ hay un $\delta$ tal que cuando $0 \lt | \Delta x | \lt \delta, |\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - d| \lt \delta$
(4) Geométrica: la derivada es la pendiente de una recta tangente a la gráfica de la función, si la gráfica tiene tangente.
(5) Tasa: la velocidad instantánea de $f(t)$ cuando $t$ es el tiempo.
(6) Aproximación: La derivada de una función es la mejor aproximación lineal a la función cerca de un punto.
(7) Microscópico: La derivada de una función es el límite de lo que se obtiene al mirarla con un microscopio cada vez de mayor potencia.

Thurston afirma que "la lista continúa; no hay razón para que se detenga", así que ¡a seguir! ¿Se te ocurren otras formas de pensar sobre la derivada? Debo señalar que se trata de una lista de diferentes formas de pensar sobre la derivada, que no es lo mismo que una lista de diferentes definiciones formales de la derivada. Recuerda limitarte a una respuesta por mensaje.

Answer 1

Creo que las respuestas hasta ahora no tienen realmente en cuenta la observación de Kevin:

Debo señalar que se trata de una lista de diferentes formas de pensar sobre la derivada, que no es lo mismo que una lista de diferentes definiciones formales de la derivada.

Podríamos simplemente copiar de http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative_%28generalizations%29 o citar las categorías de Fermat .... Quizás esta sea una forma alternativa:

Suavizado: continuidad en $p$ afirma a grandes rasgos que se puede dibujar la gráfica en una sola línea. La diferenciabilidad es el siguiente paso hacia la suavidad: La línea no tiene zig-zags / aristas. La derivada es entonces la dirección de la línea.

Answer 2

Para mí, la derivada es una medida de la sensibilidad de una función a un pequeño cambio en su entrada. Así que te dice, para cualquier entrada dada, cuál es la relación del cambio en la salida sobre el pequeño cambio en la entrada (que causó el cambio en la salida).

Answer 3

Si $R$ es un anillo, entonces una derivación $\partial : R \to R$ es un campo vectorial sobre el esquema $\mathrm{Spec} R$ .

Answer 4

Una definición algebraica que funciona para al menos polinomios: Consideremos el anillo $\mathbb{R}[dx]/(dx^2)$ la derivada de una función $f(x)\in \mathbb{R}[x]$ podría definirse implícitamente mediante $$f'(x)dx +(dx^2) = f(x+dx)-f(x)+(dx^2).$$

Answer 5

La idea intuitiva es que la derivada es cero si hay un mínimo o un máximo local.

La derivada es entonces la (tangente de) el ángulo en el que tenemos que girar la gráfica alrededor de ese punto para obtener un mínimo o un máximo local.

Probablemente podrías idear alguna forma de pensar en lo que ocurre cuando la función se desvanece en el orden impar (en primer lugar, no importa cómo la gires, no habrá un mínimo o máximo local).