Diferentes formas de concebir la derivada

Question

En su artículo filosófico "On Proof and Progress in Mathematics" (Sobre la demostración y el progreso en matemáticas), Thurston señala que los matemáticos a menudo piensan en una misma pieza matemática de muchas formas distintas. Como ejemplo, señala el concepto de la derivada de una función y ofrece siete formas elementales diferentes de pensar en él:

(1) Infinitesimal: la relación entre el cambio infinitesimal en el valor de una función y el cambio infinitesimal en una función.
(2) Simbólico: la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$ la derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$ la derivada de $f \circ g$ es $f' \circ g * g'$ etc.
(3) Lógico: $f'(x) = d$ si y sólo si para cada $\epsilon$ hay un $\delta$ tal que cuando $0 \lt | \Delta x | \lt \delta, |\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - d| \lt \delta$
(4) Geométrica: la derivada es la pendiente de una recta tangente a la gráfica de la función, si la gráfica tiene tangente.
(5) Tasa: la velocidad instantánea de $f(t)$ cuando $t$ es el tiempo.
(6) Aproximación: La derivada de una función es la mejor aproximación lineal a la función cerca de un punto.
(7) Microscópico: La derivada de una función es el límite de lo que se obtiene al mirarla con un microscopio cada vez de mayor potencia.

Thurston afirma que "la lista continúa; no hay razón para que se detenga", así que ¡a seguir! ¿Se te ocurren otras formas de pensar sobre la derivada? Debo señalar que se trata de una lista de diferentes formas de pensar sobre la derivada, que no es lo mismo que una lista de diferentes definiciones formales de la derivada. Recuerda limitarte a una respuesta por mensaje.

Answer 1

El derivado de un Tipo Regular es su Tipo de Contexto Uniforme

Se trata de una sorprendente aplicación informática relacionada con el ejemplo de Qiaochu, pero lo suficientemente diferente como para justificar alguna explicación. Pido disculpas por algunas de mis indirectas.

En un lenguaje de programación convenientemente puro (como Haskell ) podemos pensar en los tipos de datos como objetos de una categoría y en las funciones (convenientemente cualificadas) como flechas. A menudo queremos construir un tipo a partir de otro. Por ejemplo, dado un tipo $X$ podemos formar el tipo $X\times X$ el tipo de pares de $X$ 's. Del mismo modo podemos formar coproductos que corresponden a objetos que pueden ser de un tipo o de otro. Por ejemplo, si $Y=X+X^2$ entonces $Y$ es un tipo que contiene un $X$ o un par de $X$ 's. Las funciones que construyen un tipo a partir de otro, denominadas constructores de tipos, pueden considerarse naturalmente functores. Así, $P$ definido por $P(X)=X^2$ es un functor. Si $(x,y)$ está en $X^2$ entonces $Pf(x,y)=(f(x),f(y))$ . Los tipos forman un semiring.

A veces queremos hacer un 'hueco' en un constructor de tipos. Si $F$ es un constructor de tipo, entonces $F(A)$ puede considerarse como un contenedor de elementos de tipo $A$ . Un " $F$ con un agujero" es uno de estos contenedores pero con uno de sus elementos eliminado, pero manteniendo la información sobre de dónde se eliminó el elemento. Por ejemplo $F(X)=X^3$ . $F$ hace triples de $X$ 's. Un triple con un agujero consta de sólo dos $X$ así como información suficiente para saber de dónde se extrajo el tercer elemento. Sólo hay tres lugares de los que podría haber salido, por lo que podemos describir el lugar de eliminación utilizando un tipo con sólo tres elementos. Llamémoslo $3$ . Así pues, un triple con un agujero es un par formado por un elemento de tipo $3$ y un elemento de tipo $X^2$ . Es decir. $3X^2$ . Esto es $F'(X)$ .

Esto funciona de forma más general. Hacemos huecos en los constructores de tipos diferenciándolos .

Incluso funciona con tipos recursivos. Por ejemplo, una lista de $X$ es, por definición, o bien la lista vacía, o bien un par formado por un $X$ y una lista. Tenemos una ecuación

$L(X)=1+XL(X)$ .

Podemos diferenciar esto para obtener

$L'(X)=L(X)+XL'(X)$

Esto da una ecuación recursiva para un tipo de una lista con un agujero en ella. Esto es de hecho un ejemplo de un tipo llamado a cremallera . Utilizado en muchos lugares como esta solicitud . En el caso particular de las listas $L'(X)$ define un par de listas de $X$ 's.

(Gran parte de esto se aplica en la categoría $Set$ pero las ecuaciones recursivas pueden introducir algunos problemas de fundamentación si se toman demasiado al pie de la letra).

Muchas de las propiedades habituales de las derivadas adquieren interpretaciones computacionales sencillas: linealidad, la regla del producto, la regla de la cadena, incluso la fórmula Faà di Bruno.

De todos modos, echa un vistazo al papeles que no tienen ninguno de los errores que probablemente he introducido. También hay una estrecha relación con especies combinatorias .

(Curiosamente, también se puede dar sentido a las diferencias finitas de tipos aunque sólo tengamos un semiring y no tengamos sustracción de tipos).

Answer 2

Algebraica: una derivación sobre un anillo $R$ es un mapa aditivo $R \rightarrow R$ que satisfaga la regla del producto (con las generalizaciones adecuadas que permitan módulos, etc.)

Esto está relacionado con la forma de pensar Simbólica de la lista de Thurston, pero no es idéntica a ella (por ejemplo, conduce a importantes caracterizaciones de separabilidad para extensiones de campo).

Answer 3

Existen dos interpretaciones estrechamente relacionadas de la derivada de una función generatriz en combinatoria.

• Si $A(x) = \sum a_n x^n$ cuenta el número de $A$ -estructuras en un $n$ -conjunto ordenado de elementos, entonces $A'(x) = \sum na_n x^{n-1}$ cuenta el número de formas de añadir un elemento distinguido a un $n-1$ -y elegir un conjunto ordenado de $A$ -en el resultado.

• Si $A(x) = \sum \frac{a_n}{n!} x^n$ cuenta el número de $A$ -estructuras en un $n$ -conjunto de elementos, entonces $A'(x) = \sum \frac{a_n}{(n-1)!} x^{n-1}$ cuenta el número de maneras de añadir un elemento a un $n-1$ -y elegir un $A$ -en el resultado.

En realidad en combinatoria es más natural (en ambas configuraciones) considerar $x \frac{d}{dx}$ lo que se conoce como "apuntar". Esto abre muchas ideas interesantes; por ejemplo, se pueden interpretar combinatoriamente ciertas ecuaciones diferenciales y tratar de hallar sus soluciones simbólicamente.

Answer 4

Marsden & Weinstein utilizar el "método del agotamiento" para definir la derivada sin límites.

Answer 5

Me gusta una interpretación geométrica diferente de la gráfica. Si piensas en una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como una transformación en la recta real $\mathbb{R}$ entonces la interpretación de $f'(x)$ es que es el factor de escala de esta transformación cerca del punto $x$ .

Esta interpretación es buena para una comprensión geométrica de la fórmula de cambio de variables para integrales. También aclara bastante la regla de la cadena.