El ideal más pequeño que contiene elementos es el ideal generado

Question

Quiero mostrar esto:

(a) Sea $x_1,x_2,..., x_n$ sean elementos de un anillo conmutativo R. Demuestre que el ideal generado por $x_1,x_2,...,x_n$ es el ideal más pequeño que contiene $x_1,x_2,...,x_n$ .

(b) Concluya que el ideal generado por $x_1,x_2,...,x_n$ es la intersección de todos los ideales que contienen a $x_1, x_2,. . ., x_n$

a) $ (x_1,x_2,....,x_n)={r_1x_1+r_2x_2+......+r_nx_n} $

• $0=0x_1+0x_2+.....+0x_n$ , $0\in I $

• deje $a={r_1x_1+r_2x_2+......+r_nx_n} , b={r_{11}x_1+r_{22}x_2+......+r_{nn}x_n} $

$a-b={(r_1-r_{11})x_1+(r_2-r_{22})x_2+......+(r_n-r_{nn})x_n} $ entonces $a-b\in I$

• deje $r \in R , a\in I $ $ra={rr_1x_1+rr_2x_2+......+rr_nx_n} $ entonces $ra\in I $

• por lo que es ideal

En esta parte, muestro que es ideal, pero no sé cómo mostrar que es ideal más pequeño.

b) Sé que si es el ideal más pequeño entonces todos los ideales de $R$ contiene $I$ ¿pero cómo demostrarlo?

Answer 1

Tome cualquier ideal $I$ que contiene su $n$ elementos. A continuación, tome cualquier elemento $y$ en el ideal $J$ generados por los elementos. Utilizando las propiedades de un ideal, ¿puedes demostrar que $y\in I$ (para que $J\subset I$ )? Esto debería ser sencillo una vez que escribas lo que quieres. (Parece que el cálculo está casi hecho, lo que falta es el razonamiento). La conclusión es que cualquier ideal $I$ que contiene sus elementos contiene $J$ como subideal. Por lo tanto $J$ es el ideal más pequeño posible.

Para la parte (b), utilice la parte (a). Demuestre la inclusión en ambos sentidos: la intersección contiene al ideal generado y viceversa. Una de las direcciones necesita la parte (a).