Significado intuitivo de Difeomorfismo

Question

Sea $U\subset\mathbb{R}^n$ , $V\subset\mathbb{R}^m$ y una biyección $f:U\to V$ es un difeomorfismo si $f$ y $f^{-1}$ son diferenciables.

Me gustaría conocer el significado intuitivo de que dos conjuntos abiertos sean difeomorfos.

Por ejemplo si hay dos espacios homeomórfico Estos espacios comparten las mismas propiedades topológicas. Y tenemos una idea intuitiva clara de que dos espacios son homeomorfos, como la clásica relación entre un donut y una taza.

¿Existe una idea intuitiva similar para el difeomorfismo?

Edita: Las propiedades que preserva el homeomorfismo son, por ejemplo, si uno de ellos es compacto, el otro también lo es; si uno de ellos es conexo, el otro también lo es; si uno de ellos es Hausdorff, el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán.

Entonces, ¿cuáles son las propiedades que conserva el difeomorfismo?

He citado el homeomorfismo, para indicar lo que quería decir con una idea intuitiva.

Answer 1

Los difeomorfismos son precisamente los isomorfismos en la categoría de las variedades diferenciables.

Así que puede ser útil pensar en difeomorfismos entre variedades diferenciables exactamente de la misma manera que pensarías en homeomorfismos entre espacios topológicos .

Puesto que consideramos que los espacios que son isomorfos "son esencialmente iguales" o "indistinguibles", esto es lo que tenemos en mente en términos de variedades diferenciables siempre que hablamos de que son difeomorfas.

Answer 2

Puede ayudar a ilustrar de qué manera dos espacios pueden ser homeomórficos pero no difeomórficos. Consideremos el cuadrado semiabierto $X=(0,1)\times [0,1]\subset\mathbb{R}^2$ con la estructura diferencial habitual. Las propiedades topológicas del espacio incluyen que es conexo, simplemente conexo y contractible.

¿Cuál podría ser una propiedad de su estructura diferencial? Un ejemplo es el hecho de poder dibujar una curva suave que empiece en un borde y termine en el otro. En cierto modo es un mal ejemplo, porque no existe un cuadrado "exótico", que topológicamente es igual a $X$ pero donde no se puede dibujar una curva tan suave.

Sin embargo, en la dimensión 4 esto cobra más sentido. Existe un subconjunto de $\mathbb{R}^4$ que es homeomorfo a $X \times X$ pero donde no se puede trazar suavemente un disco, de modo que el límite del disco rodee una vez el límite de $X \times X$ .