¿Cuál es un ejemplo de pre gajo P en el que P^+ no es un gajo, sino un pre gajo separado?

Question

Existe una forma estándar de construir la sheafificación de un presheaf en una topología de Grothendieck que implica familias de emparejamiento. Los detalles pueden encontrarse aquí:

http://ncatlab.org/nlab/show/matching+familia

En resumen, existe un functor + que envía preeslabones a preeslabones separados y luego preeslabones separados a láminas. Así que P^++ es siempre una gavilla.

Gelfand/Manin's Methods of Homological Algebra tiene una prueba errónea de que P^+ es una gavilla, y he visto en varios sitios una prueba de que P^++ es una gavilla. Sin embargo, parece que para cualquier presheaf P que me encuentro, P^+ ya es una gavilla.

¿Alguien conoce un ejemplo de una pre ganga P en la que P^+ no sea una ganga, es decir, en la que sea necesario aplicar el functor + dos veces para obtener una ganga?

Answer 1

Creo que esto funciona:

Consideremos un espacio topológico formado por 4 puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ donde la topología viene dada por los conjuntos abiertos $ABC$ , $BCD$ , $B$ , $C$ , $ABCD$ , $\emptyset$ .

Entonces dejemos que la prehoja $\mathcal{F}$ estar dada por: $$\mathcal{F}(ABC)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(BCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(BC)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(ABCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(B)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(C)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(\emptyset)=0$$

donde todas las restricciones son las esperadas (identidad en el caso de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ y suryección canónica en el caso $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ ).

Entonces si obtenemos $\mathcal{F}^+$ viene dado por:

$$\mathcal{F}^+(ABC)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (BCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (BC)= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (ABCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (B)= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $$ $$\mathcal{F}^+ (C)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (\emptyset)=0$$

donde el mapa de $\mathcal{F}^+ (BCD)$ a $\mathcal{F}^+ (BC)$ viene dada por la suryección canónica en ambas copias, y otras restricciones son obvias. Obsérvese entonces que si tomamos 1 sobre $BCD$ y 3 sobre $ABC$ estos dos son compatibles sobre $BC$ pero no parchean.

El punto clave es que ser compatible sobre un refinamiento no es lo mismo que ser compatible. Es decir, la forma en que funciona la construcción plus es tomando $F^+$ de un espacio para ser algún límite directo sobre cubiertas abiertas de tipos en las cubiertas que son compatibles en las intersecciones. Si hubiéramos dicho en su lugar tomar límite directo sobre las cubiertas abiertas de los tipos en las cubiertas que son compatibles en algún refinamiento de la intersección, a continuación, aplicar sólo una vez probablemente funciona.

Así que en nuestro ejemplo, 1 y 3, sobre $ABC$ y $BCD$ en nuestra preforma original eran compatibles en un refinamiento de $BC$ pero no en $BC$ .

Answer 2

No he comprobado detenidamente si con + me refiero a lo mismo que tú, pero creo que el siguiente ejemplo funciona.

Tomemos X={p,q} con la topología discreta, sea S un conjunto cualquiera con |S|>1, y sea F la prehoja constante que devuelve S para cualquier subconjunto abierto de X (y todas las restricciones son mapas de identidad). En particular, F(∅)=S.

Entonces es fácil ver que F ++ (X)=SxS, pero afirmo que F + (X)=S. Para ver esto, supongamos que tenemos dos secciones s∈S=F({p}) y s'∈S=F({q}). Estas secciones "coinciden en las intersecciones" sólo si sus restricciones en F({p}∩{q})=F(∅)=S coinciden (es decir, sólo si s=s').

Tenga en cuenta que F + (∅) es un conjunto de un punto porque ∅ está cubierto por la tapa vacía (un recubrimiento por ningún conjunto en absoluto, ni siquiera ∅), y dos secciones cualesquiera de F(∅) coinciden en este recubrimiento, por lo que cuando se toma F ++ Este problema no volverá a repetirse.

Answer 3

El ejemplo de Anton puede modificarse para evitar el "conjunto vacío". He aquí una manera: sea X la categoría asociada al conjunto parcialmente ordenado

a ≤ b ≤ c ≤ e

b ≤ d ≤ e

Sea la topología mínima en la que c y e cubren a d y a cubre a b. Sea F la prehoja con F(a) = 1, F(b) = F(c) = F(d) = S, F(e) = ∅. Entonces F + (b) = 1, F + (c) = F + (d) = F + (e) = S. Esto no es una gavilla, ya que F ++ (e) = S x S.

Por supuesto, todo lo que he hecho es introducir un objeto a para que desempeñe el papel de la cubierta vacía en el ejemplo de Anton. Sin embargo, probablemente valga la pena señalar que lo que hace que la cubierta vacía configure vacío (desde el punto de vista de las láminas) es que está cubierto por el vacío portada . De hecho, la topología habitual sobre la categoría de subconjuntos abiertos de {p,q} puede modificarse de modo que el subconjunto vacío no esté cubierto por la cubierta vacía. Con respecto a esta topología, la prehoja F que definió Anton ya es una hojarasca.

Answer 4

Se da un ejemplo en "Sheaves in Geometry and Logic" de MacLane. Consideremos la gavilla constante sobre un espacio $X$ con $P(U) = S$ donde $S$ es un conjunto con más de un elemento y los mapas de restricción son identidades. La construcción plus no cambia nada excepto que $P(0) = 0$ y se puede demostrar fácilmente que no es una gavilla.

En general, es cierto que la construcción plus convierte los preensamblajes separados en gavillas y cualquier preensamblaje en un preensamblaje separado; por tanto, ++ = sheafificación.