Polos de una función definida en términos de una integral

Question

Supongamos que $\rho: [0,1] \rightarrow [0,\infty)$ con los dos siguientes propiedades:

$$\int_0^1 \rho(x) dx = 1$$

y

$$\int_0^1 \rho(x) x dx =\frac{1}{2} $$

Ahora dejemos que $$w(s) \equiv \int_0^1 \rho(x) x^s dx$$

para $s\in \mathbb{C}$ .

Y definir $F(s) = \frac{1}{\frac{1}{2} - w(s)}$ . ¿Qué podemos decir de los polos de $F$ ? Claramente $s=1$ es un polo debido a $w(1) = 1/2$ . He leído, sin pruebas, que

• En $s=1$ es el que tiene la parte real más grande
• Todos los demás polos vienen en pares de conjugados complejos, es decir, si $s$ es un polo, entonces también $\overline{s}$ (el conjugado complejo)

Me gustaría saber por qué es así, es decir, ver una prueba. Desgraciadamente, no lo he conseguido. Lo único que conseguí fue una desigualdad para el sumando integral en el denumerador de $F$ es decir, cuando $s=\alpha+i\beta$

$$\begin{eqnarray} \vert w(s) \vert &\equiv& \vert \int_0^1 \rho(x) x^s dx\vert\\ &\leq& \int_0^1 \vert \rho(x) x^s \vert dx \\ &\leq& \int_0^1 r^{\alpha} \rho(x)dx \\ &\leq& \xi^{\alpha} \int_0^1 \rho(x)dx\\ &\leq& \xi^{\alpha} \end{eqnarray} $$

En el penúltimo paso utilicé el primer teorema del valor medio para la integración y por lo tanto $\xi\in[0,1]$ . Ahora cualquier $s$ que es un polo de $F(s)$ tiene $w(s)=\frac{1}{2}$ y por lo tanto

$$\frac{1}{2} \leq \xi^{\alpha}$$

En caso de $s=1$ se da la igualdad, porque para el $s=1$ tenemos $\xi=\frac{1}{2}$ . Pero no estoy seguro de que eso sirva en general para demostrar que cualquier otro $\alpha<1$ . Sólo ayudaría si pudiera demostrar que $\xi>\frac{1}{2}$ para cualquier $s\neq 1$ y por lo tanto se obtiene una contracción si $\alpha>1$ :

$$\frac{1}{2} \leq \xi^{\alpha} < \xi < \frac{1}{2}$$

Pero no estoy seguro de que funcione.

Se agradece cualquier ayuda. Muchas gracias.

EDITAR

Entiendo el segundo punto, es decir, todos los polos tienen que venir en pares conjugados complejos. Supongamos que $s$ es un polo, entonces $w(s) = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$ y por lo tanto $\overline{w(s)} = \frac{1}{2}$ . Y

$$\overline{w(s)} = \overline{\int_0^1 \rho(x) x^s dx} = \int_0^1 \rho(x) \overline{x^s} dx = w(\overline{s})$$

Es decir, si $s$ es un polo, entonces también $\overline{s}$ .

Answer 1

Para demostrar que el real de un polo no es superior a $1$ :

Si la parte real $\alpha$ de $s = \alpha + i \beta$ es más de uno, entonces para $0<x<1$ obtienes $|x^s| = x^\alpha < x$ Así que $$ \Bigg |\int _0 ^1 p(x) x^s dx \Bigg| \le \int _0 ^1 p(x)|x^s| dx = \int _0 ^1 p(x)x^{\alpha} dx < \int _0 ^1 p(x)x dx = 1/2 $$ así que $|w(s)| < 1/2$ por lo que el denominador de $F(s)$ no desaparece y $s$ no es un poste.

Para demostrar que $s = 1$ es el único polo cuya parte real es $1$ :

Diga $s = 1 + i \beta$ es un polo, por lo que $w(s) = 1/2$ . Entonces $$ \int _0 ^1 p(x) x e^{i \beta \log x} dx = \int _0 ^1 p(x) x \cos(\beta \log x) dx + i \int _0 ^1 p(x) x \sin(\beta \log x) dx = 1/2 $$ La parte imaginaria tiene que desaparecer, por lo que te quedas con $$ 1/2 = \int _0 ^1 p(x) x \cos(\beta \log x) dx $$ Si $\beta \ne 0$ para algún valor de $x$ en $0 < x < 1$ tenemos $|\cos(\beta \log x)| < 1$ y obtienes $$ 1/2 = \Bigg| \int _0 ^1 p(x) x \cos(\beta \log x) dx \Bigg | < \Bigg| \int _0 ^1 p(x) x dx \Bigg | = 1/2 $$ Así que no puede haber un polo cuando la parte real es uno y la parte imaginaria es distinta de cero.