¿Es posible construir una función diferenciable $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$ tal que el conjunto de nivel cero $$\mathcal S = \{x \in \mathbb R^n : f(x) = 0\}$$ es no convexa, compacta, simplemente conexa y no vacía? En caso afirmativo, ¿cómo podríamos escribir una fórmula explícita para $f(x)$ para todos $x \in \mathbb R^n$ ? ¿Es esencial la compacidad antes mencionada para una construcción de este tipo?
Respuesta
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Para $n = 1$ es imposible porque cualquier subconjunto conexo de $\mathbb R$ es un intervalo.
Para $n \ge 2$ Pongamos primero ejemplos no compactos.
Sea $q : \mathbb R \to \mathbb R, q(t) = e^t$ y $g : \mathbb R^n \to \mathbb R, g(x) = x_1^2 + \dots + x_n^2 - 1$ . Estos son $C^\infty$ -funciones. Definamos ahora $$f = g \circ (id_{\mathbb R^{n-1}} \times q) .$$ $d = id_{\mathbb R^{n-1}} \times q$ establece un difeomorfismo entre $\mathbb R ^n$ y $\mathbb R^{n-1} \times (0,\infty)$ . Tenemos $g^{-1}(0) = S^{n-1}$ para que $S = g^{-1}(0) \cap \left( R^{n-1} \times (0,\infty) \right)$ es una semiesfera abierta simplemente conectada. Ahora es fácil ver que $f^{-1}(0) = d^{-1}(S)$ no es convexa, sino simplemente conexa.
Para $n \ge 3 $ ejemplos compactos $g$ desde $g^{-1}(0) = S^{n-1}$ . Para cubrir también $n = 2$ procedemos como sigue.
La función $r : \mathbb R \to \mathbb R, r(t) = e^{-1/t^2}$ para $t > 0$ y $r(t) = 0$ para $t \le 0$ es $C^\infty$ así es $h : \mathbb R^n \to \mathbb R, h(x_1,\dots,x_n) = r(x_n)$ . Ahora defina $$f = g^2 + h .$$ Desde $g^2$ y $h$ no son negativos, $x$ es un cero de $f$ si $g(x)^2 = 0$ y $h(x) = 0$ . Esto significa que $x \in S^{n-1}$ y $x_n \le 0$ es decir $f^{-1}(0)$ es una semiesfera cerrada de $S^{n-1}$ que es simplemente conexa y no convexa.
