grupo algebraico G frente a pila algebraica BG

Question

He deducido que es de "dominio público" (al menos entre la gente que piensa en estas cosas) que estudiar un grupo algebraico (liso) G, como grupo algebraico, es en cierto sentido lo mismo que estudiar BG como pila algebraica. ¿Puede alguien explicar por qué esto es cierto (y hasta qué punto lo es)? Puedo llegar hasta el punto de ver que las gavillas cuasi-coherentes en BG son lo mismo que las representaciones de G, pero me da la sensación de que hay algo más.

En particular, Scott Carnahan mencionó aquí que las deformaciones de BG como pila algebraica deben corresponder exactamente a deformaciones de G como grupo algebraico. Supongo que esto significa que cualquier deformación de BG debe ser de la forma BG', donde G' es una deformación de G (como grupo). Para mí está claro que tal BG' es una deformación, pero ¿por qué deben ser las sólo ¿deformaciones?

Answer 1

La pila $BG$ sólo recupera $G$ hasta los automorfismos internos, no canónicamente (como sugiere blah) - esto puede llevar a serios problemas en familias o equivalentemente sobre un campo no algebraicamente cerrado, como señala el comentario de Shenghao. Una forma de decirlo es la siguiente: los bucles en $BG$ son $G/G$ el cociente adjunto de $G$ . Por otro lado, si das un mapa $pt \to BG$ entonces el espacio de bucles basado (producto fibra de $pt$ consigo mismo sobre $BG$ ) es $G$ , por lo que se recupera el grupo canónicamente.

Answer 2

Lo que yo esperaría es que el grupo G sea básicamente lo mismo que el puntiagudo stack BG, donde se apunta por el trivial G-bundle.

Answer 3

Si G es un esquema de grupo sobre k (algebraico cerrado), entonces déjame hablarte de cómo recuperar G mirando la pila BG. Los k puntos de BG (que es un grupoide) consisten en un punto cuyos automorfismos son los k puntos de G. El pullback de este punto a Spec A para cualquier k-álgebra A tiene automorfismos dados por los A puntos de G. Si piensas en los puntos de BG como haces principales, estoy diciendo que los automorfismos del haz trivial sobre Spec A son los A puntos del grupo.

¿Qué ocurre si se deforma BG? Sigues teniendo este punto, no puedes deformarlo en nada, así que sólo puedes cambiar sus morfismos. Ese es tu G' (obtienes un grupo algebraico ya que puedes hacer pullback a todos los Spec A's). Cómo ves que es BG' es un poco más complicado, así que tal vez debería dejárselo a un geómetra algebraico real, pero creo que la idea es que BG se distingue por ser la sheaficación de los haces triviales en la topología suave/fppf, y esto no cambiará cuando deformes.

Answer 4

Hola Ben,

un pequeño comentario: cuando dices "G es un esquema de grupo sobre k", te refieres a que k es un campo cerrado separable, ¿verdad? Porque si no, el grupoide BG(k) no puede tener una sola clase de isomorfismo de objeto; el conjunto de clases de isomorfismo es la cohomología de Galois H^1(k,G). También me confundí con "el pullback de este punto". Creo que uno debería deformar BG a lo largo de la incrustación nilpotente Spec k --> Spec A, en lugar de considerar Spec A --> Spec k...

El mapa estructural BG --> Spec k tiene una sección Spec k --> BG. Así que tal vez uno puede deformar BG --> Spec k junto con esta sección, de modo que cualquier gerbe se convierte en trivial.