Me pregunto cómo $qvq^{-1}$ da el vector girado de $v$ . ¿Hay alguna prueba fácil de entender para ello?
Yo estaba en Wikipedia pero no pude entender la prueba allí debido a las conversiones.
¿Por qué es $uv-vu$ lo mismo que $2(u \times v)$ y por qué es $uvu$ lo mismo que $v(uu)-2(uv)u$ ?
Una prueba esbozada aquí Aunque me he saltado algunos cálculos que deberías verificar.
Un cuaternión (real) es un "número" de la forma $q=a+bi+cj+dk$ donde los coeficientes $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son números reales y $i^2=j^2=-1$ , $ij=k$ , $jk=i$ , $ki=j$ , $ji=-k$ y así sucesivamente.
El cuaternión conjugado es $\overline{q}=a-bi-cj-dk$ y la norma cuaterniónica (reducida) de $q$ es el número real $q\overline{q}$ .
Los cuaterniones puros, es decir, aquellos para los que $a=0$ o de forma equivalente $\overline{q}=-q$ forman un espacio real tridimensional, siendo una base obvia $\{i,j,k\}$ . La norma cuaterniónica restringida al espacio de cuaterniones puros resulta ser simplemente la norma euclidiana.
La transformación $u\mapsto quq^{-1}$ preserva el espacio de cuaterniones puros y preserva la norma, por lo que puede leerse como una tranformación ortogonal de ${\Bbb R}^3$ que además conserva la orientación.
Se concluye recordando que una tranformación ortogonal que preserva la orientación de ${\Bbb R}^3$ es la rotación alrededor de algún eje.
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