Fracción de reescritura, función generadora de probabilidad

Question

Estoy viendo un ejemplo de probabilidad (función generadora) donde salió la siguiente fracción:

$g_Y(t)=\frac{q+tp}{2-p-tq}=\frac{1}{q(2-p)} (-p(2-p) + \frac{1}{1-\frac{qt}{2-p}})=\frac{1-p}{2-p}+\frac{t}{(2-p)^2}+\frac{qt^2}{(2-p)^3}+ \dots$

$p+q=1$

A partir de la cual las probabilidades $P(Y=1)$ , $P(Y=2)$ etc. Mi pregunta es cómo se puede a partir de la fracción $\frac{q+tp}{2-p-tq}$ reescribir a otra fracción que se puede expandir como una serie geométrica. Por supuesto, puedo comprobar que su respuesta es correcta, pero ¿qué método debo utilizar para abordar una pregunta de este tipo si se plantea de otra forma?

Answer 1

Sabes que si puede escribirse como $a + b \frac{1}{1-ct}$ entonces la expansión es posible, así que iguala tu expresión a esto, multiplica en cruz, y como en tu expresión el numerador y el denominador son lineales en $t$ llegarás a tres ecuaciones en tres incógnitas $a,b,c$ para los coeficientes (en términos de los coeficientes constantes $p,q$ ). Entonces resolviendo ese sistema obtendremos $a,b,c$ , ojalá .