Cómo linealizar un sistema pde en una solución $u_0$ ?

Question

Supongamos que tenemos $$ u_t=u_{xx}+\mu u+\lvert u\rvert^2u,~~u=u(x,t). $$

Podemos escribirlo como el sistema acoplado $$ u_t=u_{xx}+\mu u+\bar{u}u^2\\ \bar{u_t}=\bar{u_{xx}}+\mu\bar{u}+u\bar{u}^2. $$

Ahora, supongamos que tenemos una solución $u_0=r\cdot e^{i(kx-\omega t)}$ donde $k,\omega,r$ son constantes.

Mi pregunta es: ¿Cómo podemos linealizar el sistema acoplado en $u_0$ ?

Se afirma que el resultado es $$ u_t=u_{xx}+\mu u+2u_0\bar{u_0}u+u_0^2\bar{u}\\ \bar{u_t}=\bar{u_{xx}}+\mu\bar{u}+2\bar{u_0}u_0\bar{u}+\bar{u_0}^2u $$

Answer 1

Consideremos la primera de las ecuaciones y establezcamos $\bar{u}=\bar{u}_0+\epsilon \bar{u}_1$ por lo que ignoramos los términos de orden superior de tamaño $\epsilon^2$ .

También $u=u_0+\epsilon u_1$ luego sustituye estas dos expansiones en la ecuación. Junta los términos de orden $\epsilon$ y tendrás la ecuación deseada