Recientemente he leído en mi libro de texto de cálculo que las cantidades infinitesimales no pueden definirse en el conjunto de los números reales a menos que se extiendan de alguna manera. Sin embargo, el autor de este libro de texto era bastante vago al respecto y no se explayó en absoluto, lo que me pareció bastante desafortunado.
En concreto, mi pregunta es: ¿por qué no se pueden definir cantidades infinitesimales y cómo se puede ampliar para dar cabida a los infinitesimales?
Sospecho que este es un punto en el que el lenguaje del texto es algo confuso. Así que primero permítanme exponer claramente la negativo situación:
Existe -hasta isomorfismo- un único campo ordenado completo.
_(Véase aquí para una definición de campo ordenado; "completo" significa que todo subconjunto acotado no vacío del campo tiene un mínimo superior. A grandes rasgos, un campo ordenado completo es algo que satisface las reglas básicas de suma/resta/multiplicación/división y ordenación y que además no tiene "agujeros")._
Ignorando los problemas de isomorfismo, esto es lo que llamamos $\mathbb{R}$ por definición. Podemos entonces definir los números naturales (aproximadamente, $\mathbb{N}$ es el subconjunto más pequeño de $\mathbb{R}$ que contiene $1$ y satisfactoria $x\in\mathbb{N}\implies x+1\in\mathbb{N}$ ). Y con $\mathbb{N}$ por fin podemos definir lo que significa ser infinitesimal:
$x$ es infinitesimal si $x>0$ pero para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos $x<{1\over n}$ .
Nota de estilo: en realidad hay varias definiciones diferentes de infinitesimales. Una diferencia que verás es si $0$ se considera o no infinitesimal; yo he optado por no considerarlo infinitesimal, pero algunos textos -aunque en mi experiencia son minoría- sí lo permiten. Otra diferencia que verás es que se suprime el requisito de positividad; en realidad es bastante común, pero yo sigo con los infinitesimales positivos porque creo que al principio dan una idea más clara.
Ahora podemos demostrar la afirmación en cuestión:
Teorema : No hay elementos infinitesimales de $\mathbb{R}$ .
Prueba : Supongamos lo contrario. Sea $I$ sea el conjunto de todos los elementos infinitesimales de $\mathbb{R}$ . Por supuesto $I$ no es vacío, y $I$ está claramente acotada, por lo que $I$ tiene un límite superior mínimo $\eta$ (ya que $\mathbb{R}$ es completa), y además tenemos $\eta>0$ . Ahora nos preguntamos: ¿es $\eta$ ¿Infinitesimal?
Si $\eta$ es infinitesimal, tenemos un problema: $2\eta$ ¡también debe ser infinitesimal! (Si $2\eta>{1\over k}$ entonces $\eta>{1\over 2k}$ .) Pero $2\eta>\eta$ contradiciendo la suposición de que $\eta$ es un límite superior de $I$ .
Pero si $\eta$ no es infinitesimal, nosotros también ¡tengo un problema! Desde $\eta$ no es infinitesimal debemos tener ${1\over n}\le\eta$ para somenonzero $n\in\mathbb{N}$ . Pero entonces ${1\over 2n}<\eta$ y todo infinitesimal es $<{1\over 2n}$ Así que $\eta$ no es el menos límite superior de $I$ .
Entonces tenemos una contradicción; esto nos dice que no hay infinitesimales en $\mathbb{R}$ .
Pero este no es el final de la historia. Lo anterior tiene su origen en la forma concreta en que definimos $\mathbb{R}$ . Pero hay otros campos ordenados, y en particular hay campos ordenados mayores que $\mathbb{R}$ que necesariamente contienen infinitesimales (sin embargo, no son completos) . Podemos preguntarnos razonablemente: "¿Por qué trabajamos con $\mathbb{R}$ en lugar de uno de estos otros campos?" E incluso si preferimos $\mathbb{R}$ , aún podríamos preguntarnos razonablemente: "¿Podríamos aprender algo interesante observando estos otros campos?".
La primera pregunta es, por supuesto, subjetiva, pero la segunda tiene una respuesta definitiva: incluso si estamos interesados principalmente en $\mathbb{R}$ El estudio de campos ordenados más amplios puede ser muy útil. análisis no estándar (e "hiperreales"), que muestra que en un sentido preciso los teoremas sobre $\mathbb{R}$ ¡puede demostrarse utilizando (cuidadosamente) infinitesimales en (ciertos) campos mayores!
Esto es lo que se entiende por "ampliar $\mathbb{R}$ " - no estamos cambiando literalmente $\mathbb{R}$ sino más bien estudiar una nueva estructura más amplia (o clase de estructuras) en lugar o además de $\mathbb{R}$ .
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