Isomorfismos entre campos finitos.

Question

Sea $P(X) \in \mathbb{F_{5}}[X]$ sea un polinomio mónico irreducible de grado $2$ .

Demostrar que el cociente $\frac{\mathbb{F_{5}}[X]}{(P(X))}$ es isomorfo al campo $\mathbb{F_{25}}$ y que $P$ tiene dos raíces en $\mathbb{F_{25}}$ .

No tengo ni idea de cómo empezar esto. Me imagino que tiene que ver con la cardinalidad de $\frac{\mathbb{F_{5}}[X]}{(P(X))}$ en $5^{2} = 25$ pero no sé qué argumentos utilizar.

Answer 1

Como los campos son UFDs, sabemos que los polinomios sobre el campo también son un UFD, así que como todos los elementos del grupo $F^\times$ satisfacer $x^{|F^\times|}-1=0$ por Lagrange, y puede haber como máximo $n$ soluciones a cualquier polinomio de grado $n$ porque los polinomios se factorizan en factores lineales sobre sus cierres algebraicos, debe ser que el grupo finito $F^\times$ (para un campo finito, $F$ ) es cíclico. Pero entonces mapea un generador del grupo unitario de $\Bbb F_5[x]/(p(x))$ a un generador del grupo unitario de $\Bbb F_{25}$ y mapa $0\to 0$ y claramente se trata de un homomorfismo de anillo y una biyección, por tanto un isomorfismo.

Para ver que hay dos raíces, basta con observar que definitivamente hay una raíz, y así $p(x) = (x-\alpha)g(x)$ pero entonces $\deg g(x) = 1$ porque el grado del producto es la suma de los grados, por lo tanto $g(x) = x-\beta$ y eso demuestra que la otra raíz también está ahí.

Answer 2

Cuando un polinomio de grado dos tiene una raíz $a$ en una extensión de campo, entonces tiene ambos, porque se puede dividir por $X-a$ permaneciendo en el campo.

El campo $\mathbb{F}_{5}[X]/(P(X))$ tiene dimensión $2$ en $\mathbb{F}_5$ por lo que tiene $25$ elementos.

Ahora el problema es demostrar que dos campos cualesquiera con $25$ son isomorfos.

Consideremos un campo de división $K$ para $Q(X)=X^{25}-X$ . Obsérvese que las raíces de $Q(X)$ son distintas, porque la derivada (formal) es $Q'(X)=-1$ . El conjunto de raíces de $Q(X)$ es en realidad un subcampo, porque $$ (a+b)^{25}=((a+b)^5)^5=(a+b)^5=a+b $$ por lo que si $a$ y $b$ son raíces de $Q(X)$ entonces también $a+b$ es. Del mismo modo para comprobar sobre $ab$ , $-a$ , $a^{-1}$ , $0$ y $1$ . Por lo tanto $K$ es el conjunto de raíces de $X^{25}-X$ .

Por el contrario, en un campo con $25$ elementos tenemos $a^{25}=a$ para todos $a$ porque el grupo multiplicativo tiene orden $24$ y por lo tanto $a^{24}=1$ si $a\ne0$ .

Así, un campo con $25$ elementos es el campo de división de $Q(X)$ y es un teorema general que los campos de división del mismo polinomio son isomorfos.

Por supuesto, esto es un caso particular del teorema general de que un campo con $p^n$ elementos es el campo de división sobre $\mathbb{F}_p$ de $X^{p^n}-X$ por lo que existe un único campo, hasta isomorfismos, con $p^n$ elementos. La prueba es la misma con los cambios oportunos.

Answer 3

Desde $P$ es irreducible de grado 2, $k=F_5[X]/(P)$ es una extensión de grado 2 de $F_5$ así es $F_{5^2}$ . La imagen de $X$ en $K$ es una raíz de $P$ ya que el grado P=2, y $P$ tiene una raíz en $K$ , $P$ se divide en $K$ .