Valores propios (o ausencia de ellos) de $A$ para $A^2 = -I$

Question

Estoy empezando con Eigenvalores y Eigenvectores y todo parecía ir bien hasta que esta pregunta me dejó perplejo:

Sea A $2\times 2$ matriz para la que $A^2=-I$ .
Demostrar que A no tiene valores propios reales.

Intenté usar el hecho de que tendría un determinante de $1$ mientras que cualquier valor propio tendría que ser el resultado de una ecuación homogénea, pero aparentemente esa regla sólo se aplica en la otra dirección.

Intenté usar el hecho de que cualquier matriz que se multiplicara por sí misma sería de rango $2$ no podría tener un valor propio porque eso requeriría que fuera de rango $1$ o menos (para que haya soluciones no triviales al polinomio típico) pero aparentemente eso es incorrecto, porque luego tengo que demostrar que A es similar a $\left( \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$ que es de rango $2$ así que eso no se sostiene.

Agradeceríamos cualquier sugerencia.

Answer 1

Volvamos a la definición: si $A$ tiene un valor propio $\lambda$ con el correspondiente vector propio $x$ entonces $A x = \lambda x$ . Ahora $A^2 x = \lambda^2 x$ . Esto da $\lambda^2 = -1$ ¡Contradicción!

Answer 2

Supongamos que $v$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ . ¿Qué es el $A^2 v$ ?