¿Qué es la geometría en geometría algebraica?

Question

Viniendo de un fondo en física, mi entendimiento de la geometría (en un sentido muy genérico) es que implica tomar un espacio y agregarle alguna estructura adicional. La estructura adicional toma datos locales sobre el espacio como entrada y produce respuestas a preguntas locales o globales sobre el espacio + estructura. Podemos usarlo para sondear tanto la estructura en sí como el espacio subyacente en el que reside. Por ejemplo, podemos tomar una variedad suave y agregarle una métrica riemanniana y una conexión, y luego podemos preguntar sobre distancias entre puntos, curvatura, geodésicas, etc. En geometría simpléctica, tomamos una variedad de dimensión par y agregamos una forma simpléctica, y luego podemos preguntar sobre... bueno, honestamente, no lo sé. Pero estoy seguro de que hay cosas interesantes sobre las que se puede preguntar.

Sabiendo muy poco sobre geometría algebraica, me pregunto cuál es la parte de "geometría". Estoy asumiendo que los espacios en este caso son variedades algebraicas, pero ¿cuál es la estructura adicional que se agrega? ¿Qué tipos de preguntas podemos responder con esta estructura adicional que no podríamos responder sin ella?

Tengo que suponer que esto es un poco más complicado que simplemente tomar una variedad y agregarle una métrica, de lo contrario esperaría poder encontrar una explicación relativamente directa en algún lugar. Si resulta que la respuesta es "es difícil de explicar, y solo necesitas leer un texto de geometría algebraica", entonces está bien. En ese caso, sería interesante tratar de tener una idea de por qué es más complicado. (Tengo una suposición, que es que las variedades tienden a ser mucho menos dóciles que las variedades, por lo que tienes que dar más saltos técnicos para agregar cosas adicionales a ellas, pero eso es pura especulación.)

Answer 1

Esta es una gran pregunta complicada y se pueden dar muchos tipos diferentes de respuestas en muchos niveles diferentes de sofisticación. La respuesta muy corta es que la geometría en la geometría algebraica proviene de considerar solo las funciones polinómicas como las funciones significativas. Aquí está esencialmente el ejemplo no trivial más simple que conozco:

Considera la intersección del círculo unitario $\{ x^2 + y^2 = 1 \}$ con una línea vertical $\{ x = c \}$, para diferentes valores del parámetro $c$. Si $-1 < c < 1$ obtenemos dos puntos de intersección. Si $c > 1$ o $c < -1$ no obtenemos puntos de intersección (reales). Pero algo especial sucede en $c = \pm 1$: en este caso, las líneas verticales $x = \pm 1$ son tangentes al círculo. Esta tangencia es invisible si solo consideramos la "intersección de conjuntos" del círculo y la línea, que consiste en un solo punto; por diversas razones (por ejemplo, para que sea verdadero el teorema de Bézout) nos gustaría una manera de formalizar la intuición de que esta intersección tiene una "multiplicidad dos" en cierto sentido, y por lo tanto es geométricamente más interesante que un punto único.

Esto se puede hacer tomando lo que se llama la intersección teórica de esquemas. Este es un nombre complicado para una idea simple: en lugar de preguntar directamente cuál es la intersección, preguntamos cuál es el anillo de funciones polinómicas en la intersección. El anillo de funciones polinómicas en el círculo unitario es el anillo cociente $\mathbb{R}[x, y]/(x^2 + y^2 - 1)$, mientras que el anillo de funciones polinómicas en la línea vertical es el anillo cociente $\mathbb{R}[x, y]/(x - c) \cong \mathbb{R}[y]$. Resulta que el anillo de funciones polinómicas en la intersección es el cociente por ambas de las definiciones polinómicas, lo que da, por ejemplo en $x = 1$ para ser concretos,

$$\mathbb{R}[x, y]/(x^2 - y^2 - 1, x - 1) \cong \mathbb{R}[y]/y^2.$$

Este es un anillo divertido: ¡tiene un nilpotente no trivial! Ese nilpotente $y$ nos dice exactamente el sentido en que la intersección tiene una "multiplicidad dos"; está diciendo que una función en la intersección teórica de esquemas registra no solo su valor en el punto de intersección sino su derivada con respecto a vectores tangentes en el punto de intersección, reflejando el hecho geométrico de que el círculo unitario y la línea son tangentes y comparten un espacio tangente. En otras palabras, está diciendo, hablando en términos generales, que la intersección son "dos puntos infinitesimalmente cerca uno del otro, conectados por un vector infinitesimalmente corto".

Agregar nilpotentes a la geometría requiere cierto tiempo para acostumbrarse pero resulta ser muy útil; entre otras cosas es posible definir espacios tangentes en la geometría algebraica de esta manera (espacios tangentes de Zariski), por lo tanto definir álgebras de Lie de grupos algebraicos de una manera puramente algebraica.

Entonces, esta es una historia que se puede contar sobre qué tipo de geometría captura la geometría algebraica, y hay muchas otras, por ejemplo, la rica historia de la geometría aritmética y sus aplicaciones a la teoría de números. Es difícil decir algo remotamente completo aquí porque la geometría algebraica es absurdamente general y los tipos de geometría que es capaz de capturar se desvían en direcciones muy diferentes dependiendo de en qué estás interesado.

Answer 2

Un variedad clásica es un espacio que localmente se parece a $\mathbb{R}^n$; o, a través de resultados como el teorema de incrustación de Whitney, un subespacio adecuadamente agradable de algún $\mathbb{R}^N$. Si "parecerse a" implica alguna noción de suavidad, por ejemplo, entonces podemos expandirnos en la geometría diferencial y hablar sobre construcciones como espacios tangentes y formas diferenciales. Si nos atenemos solo a la continuidad, entonces aún podemos trabajar con algunas construcciones como homología y cohomología (simplemente no, por ejemplo, la cohomología de de Rham), y podemos tratar con espacios más patológicos y funciones entre ellos.

Entonces, una pregunta natural es qué tiene de especial $\mathbb{R}^n$. Podemos considerar espacios que localmente se parecen a un espacio de Banach arbitrario, por ejemplo. (No creo que este sea un enfoque particularmente popular, al menos, a nivel de pregrado/primer ciclo de posgrado, pero Abraham, Marsden y Ratiu trabajan en esta categoría). El punto de partida de la geometría algebraica es querer tratar con espacios sobre un anillo conmutativo arbitrario. No está claro cómo la continuidad o suavidad deberían mapearse en este caso, pero al menos los polinomios tienen sentido sobre un anillo arbitrario, y podemos ver el espacio como $V(f) = \{x\in k^n:\, f(x) = 0\}$ para un polinomio $f\in k[X_1, \dots, X_n]$. Pero eso tampoco es exactamente lo que queremos; para el caso importante de $k$ finito, por ejemplo, $V(f)$ es solo una colección finita de puntos.

La analogía que resulta ser válida consiste en ir en dirección opuesta e intentar generalizar la idea de funciones en una variedad. Con ese fin, la geometría algebraica trabaja con espacios localmente anillados, que son pares $(X, \mathcal{O}_X)$ con $X$ un espacio topológico y $\mathcal{O}_X$ un haz de anillos en $X$ que satisfacen propiedades aproximadamente análogas a lo que esperarías, por ejemplo, para funciones suaves en una variedad. En términos generales, lo que obtienes es un espacio que localmente se parece al espectro de un anillo conmutativo, pero a diferencia del caso de las variedades reales, ese anillo puede variar a lo largo del espacio. Eso es admitidamente una analogía vaga, y se necesitan muchos resultados técnicos para siquiera hablar sobre el objeto resultante. Pero si estás familiarizado con los haces vectoriales, por ejemplo, entonces considera el Teorema de Swan: Para una variedad suave, conectada, cerrada $X$, el funtor de secciones $\Gamma(\cdot)$ da una equivalencia entre haces vectoriales sobre $X$y módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo $C^\infty(X)$.

Entonces, ¿qué hace que este elemento algebraico que hemos construido parezca geométrico? La suavidad no tiene sentido fuera de $\mathbb{R}^n$, pero si estamos trabajando con polinomios, tienen una derivada formal que nos permite hacer algo aproximadamente igual. Más en general, un anillo local $(R, \mathfrak{m}) tiene un espacio cotangente $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ que es aproximadamente análogo al espacio cotangente de una variedad; y con un poco de trabajo, podemos obtener algo que al menos tenga algunas de las propiedades formales que uno desearía para un espacio tangente o cotangente. Aunque la topología con la que trabajamos resulta ser mucho más complicada que en el caso de variedades (la topología de Zariski, por ejemplo, generalmente no es Hausdorff), todavía tenemos una noción de cohomología (siendo la más simple la cohomología de Čech con un haz). Hay un salto masivo en abstracción y requisitos técnicos en comparación con el caso más geométrico, pero la geometría algebraica resulta ser la extensión adecuada de la geometría más familiar al tratar con cosas como, por ejemplo, campos numéricos.

Answer 3

Ya hay algunas respuestas geniales aquí y solo estoy agregando algunos pensamientos (muy informales) por mi cuenta:

Toma un esquema algebraico afín afín $X=\mathbf{Spec}(A)$ para algún álgebra $\mathbf{C}$-álgebra $A$ (es decir, polinomios módulo algunas relaciones). Esto podría ser una línea afín, un plano o tal vez los ceros de una ecuación polinómica dentro de un espacio afín (es decir, una bonita curva en el plano, una superficie incrustada en el espacio tridimensional, etc.).

Luego la geometría algebraica te dice que el anillo $\mathcal{O}_X$ de "funciones holomorfas" en $X$ es simplemente $A$. En geometría diferencial / compleja, verías $X$ como una variedad y $\mathcal{O}_X$ es este anillo de funciones $C^\infty$ en $X$.
Ahora la parte interesante de la geometría algebraica es que, empezando con cualquier anillo conmutativo unitario abstracto $A$, obtienes un espacio topológico $X=\mathbf{Spec}(A)$ cuyo anillo de funciones regulares es el $A$ con el que empezaste. Es decir, los elementos de un anillo abstracto $A$ pueden verse como funciones regulares en un espacio topológico $\mathbf{Spec}(A)$ (o variedad, lo que sea...).

Incluso se trata de una equivalencia de categorías $\{ \text{schemes afines }\}^{op} \leftrightarrow \{\text{anillos conmutativos con 1}\}$.

Cuando esto se introdujo hace 80(?) años, creó un gran eco - en este enfoque, una función $f$ (elemento de un anillo $A$) no está definida de forma única por todos sus valores $f(x), x \in X$. Por ejemplo, toma $A=\mathbf{C}[t]/(t^2)$ luego la función $t$ es cero en el único punto $0 \in \mathbf{Spec}(A)$ pero $t\neq 0$ no es la función cero.

Sin embargo, si le agregas propiedades agradables a $X$ (reducido, propio, separado, etc.) obtienes al menos en el caso complejo un espacio que es equivalente categóricamente a una variedad compleja (ver los teoremas GAGA de Serre).

Dado que estabas preguntando sobre geometría: Este espacio divertido $X=\mathbf{Spec}(\mathbf{C}[t]/(t^2)$ tiene una aplicación interesante. Permíteme usar un poco de magia que este espacio consiste en un punto (porque $A$ tiene solo un ideal primo), pero se puede mostrar que las funciones $f$ en $X$ se ven como $f(t)=a+bt$ para $a,b\in \mathbf{C}$ por lo tanto, se pueden ver como aproximaciones de Taylor de orden $1^{st}$ a funciones polinómicas.
Ahora, si quieres entender el espacio tangente en un punto $y \in Y$ de algún otro espacio $Y$, puedes ver mapas $\phi: X \rightarrow Y$ mapeando el punto único de $X$ a $y$. El hecho de que $X$ mantenga las direcciones tangentes te permite ver $\phi$ como deformaciones de orden $1^{st}$ de $y \in Y$, es decir, es una elección de vector tangente de $\mathbf{T}_yY$