Pregunta sobre los mapas de Lipschitz y la medida cero

Question

Tengo dificultades con un problema de medida.

Supongamos que $F : B^k \rightarrow B^n$ es un mapa Lipschitz de la bola unitaria en $\mathbb{R}^k$ a la bola unitaria en $\mathbb{R}^n$ . Si $k \lt n$ , demuestre que la imagen de $F$ tiene medida cero en $B^n$ .

Partiendo del hecho de que $F$ es un mapa de Lipschitz, he deducido que para todo $\epsilon \gt 0, \forall F(x), F(y) \in B^n$ si $F(x), F(y) \in B_\epsilon$ en $B^n$ entonces $x, y \in B_{\epsilon/C}$ en $B^k$ où $C$ es la constante de Lipschitz.

Desde aquí estoy pensando que se puede cubrir el $k$ bola unitaria con $n$ -bolas y luego transferirlas $n$ -bolas a $B^n$ donde cubren imagen $(F)$ . Entonces reduciendo epsilon se reduce el volumen del $n$ -bolas más rápido de lo que aumenta su número, por lo que el volumen llega a cero.

Agradecería cualquier ayuda o consejo. Gracias.

Answer 1

Tal vez puedas utilizar el hecho de que un mapa de Lipschitz es a.e. diferenciable, digamos fuera de un conjunto $S$ con $m(S)=0$ y, a continuación, aplicar el teorema de Sard (siempre que se cumpla la diferenciabilidad, es decir, en $B^k-S$ ), de modo que cada punto de $\mathbb R^k \cap B^k$ es un punto crítico, por lo que $f(B^k -S)$ tiene medida cero en $B^n$ . Así que todo lo que tenemos que tratar es la imagen de S bajo F.

O, más fácilmente, para esto último, usar que una función Lipschitz es absolutamente continua, de modo que , como S tiene medida cero, y a.continuidad lleva medida cero a medida cero, tenemos $m(f(S))=0$ y ya está.

Answer 2

En $B^k$ como subconjunto de $B^n$ puede ampliar $F$ a un mapa $G:B^n\to B^n$ tal que $G(x_1,\ldots,x_n)=F(x_1,\ldots,x_k)$ . Tenga en cuenta que $G$ es Lipschitz con la misma constante de Lipschitz que $F$ . La medida de $B^k$ en $B^n$ es $0$ por lo que dado $\varepsilon>0$ existe una secuencia de bolas $\{B(\mathbf{x}_i,r_i)\}_i$ en $B^n$ tal que $B^k\subseteq \cup_i B(\mathbf{x}_i,r_i)$ y $\sum_i m(B(\mathbf{x}_i,r_i))<\varepsilon$ .

Sea $C>0$ sea la constante de Lipschitz de $F$ y, por tanto, de $G$ . Entonces $G(B(\mathbf{x}_i,r_i))$ tiene un diámetro máximo de $2Cr_i$ y, por tanto, cabe dentro de una bola de radio $2Cr_i$ . Esto implica que $m(G(B(\mathbf{x}_i,r_i))\leq (2C)^nm(B(\mathbf{x}_i,r_i)$ . Desde $$F(B^k)=G(B^k)\subseteq G(\cup_iB(\mathbf{x}_i,r_i))=\cup_i G(B(\mathbf{x}_i,r_i)),$$ esto implica que $m(F(B^k))<(2C)^n\varepsilon$ . Desde $C$ y $n$ son constantes y $\varepsilon$ era arbitraria, esto implica que $m(F(B^k))=0$ .

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En cuanto a sus observaciones, tenga en cuenta que $d(F(x),F(y))<\varepsilon$ no implica que $d(x,y)<\dfrac{\varepsilon}{C}$ . (Por ejemplo, consideremos un mapa constante.