Generación de una prioridad de Laplace a partir de una variable aleatoria normal con desviación típica de Rayleigh.

Question

Leo en Wikipedia Distribución de Laplace que lo siguiente es cierto:

Si $X|Y \sim N(\mu,\sigma=Y)$ con $Y \sim \text{Rayleigh}(b)$ entonces $X \sim \text{Laplace}(\mu, b)$ .

Sin embargo, no parece haber ninguna referencia al respecto, y yo mismo no consigo probarlo. ¿Puede alguien demostrarme por qué es cierto?

Answer 1

Puede utilizar la identidad $$ I(u,\,v) := \int_0^\infty e^{-u y^2 - v /y^2 } \text{d}y = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{u}}\, e^{-2 \sqrt{uv}} \qquad (u >0, \, v>0). $$ que relaciona (tras el cambio de variable $t:=y^2$ ) a la de Laplace de la función $t \mapsto t^{-1/2} e^{-v / t}$ y su valor en $s = u$ Ver N.N. Lebedev Funciones especiales y sus aplicaciones aplicaciones , nota a pie de página de la p. 118. La transformada de Laplace se puede encontrar en el famoso libro de Abramowitz y Stegun como fórmula (29.3.84) p. 1026.

Ahora $$ p(x) = \int_0^\infty p(x \vert y) \, p(y)\,\text{d}y = \int_0^\infty \frac{1}{y \sqrt{2 \pi}}\, e^{-(x-\mu)^2/(2y^2)} \times \frac{y}{b^2} \, e^{-y^2/(2b^2)} \,\text{d}y $$ y así $p(x) = I(u,\,v)/(b^2 \sqrt{2 \pi})$ donde $I(u,\,v)$ es la integral anterior para $u:= 1/(2b^2)$ y $v:= (x - \mu)^2/2$ . Utilizando el valor de $I(u,\,v)$ y reordenando, encontramos $p(x) = \exp\{-|x - \mu|/b\} / (2b)$ como tú afirmabas. No sé cómo la transformada de Laplace fue calculada, ni si existe una derivación más simple.