$X$ contiene al menos dos puntos y al menos un punto aislado. Demuestra $X$ no está conectado.

Question

¿Podemos tomar dos conjuntos $G_1 = (x_1)$ donde $x_1$ es el punto aislado, y $G_2 = B(x_2;\epsilon)-(x_2)$ donde $x_2$ es un punto límite y demostrar que se cumplen las condiciones de conectividad del conjunto?

Se agradece la ayuda Gracias :)

Answer 1

Vas por buen camino. Utiliza el hecho de que $x_1$ se aísla para demostrar que tanto $\{x_1\}$ y $X-\{x_1\}$ son conjuntos abiertos no vacíos. El hecho de que $x_1$ está aislado te da que están abiertos, y el hecho de que $X$ tiene al menos dos puntos le da que $X-\{x_1\}$ no es vacío.