Hallar el intervalo tras la sustitución

Question

Ante este problema $$8\cdot 3^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}+9^{\sqrt[4]{x}+1}\geq 9^{\sqrt{x}}$$

$$8\cdot 3^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}+3^{2\sqrt[4]{x}+2}\geq 3^{2\sqrt{x}}\\8\cdot 3^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-2\sqrt{x}}+3^{2\sqrt[4]{x}+2-2\sqrt{x}}\geq 1\\8\cdot 3^{\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}}+3^{2\sqrt[4]{x}-2\sqrt{x}+2}\geq 1\\8\cdot 3^{\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}}+9\cdot 3^{2\sqrt[4]{x}-2\sqrt{x}}\geq 1$$

Después de simplificar obtengo $8\cdot 3^{\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}}+9\cdot 3^{2\sqrt[4]{x}-2\sqrt{x}}\geq 1$ ahora poniendo $t=3^{\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}}$ obtenemos $8t+9t^2\geq 1$ y resolviendo obtenemos $t\in (-\infty,-1)\cup(\frac{1}{9},+\infty)$ desde $t$ es una función exponencial de base positiva, entonces $t>0$ por lo tanto sólo estamos mirando el intervalo $(\frac{1}{9},\infty)$ Ahora no tengo ni idea de cómo encontrar el intervalo para $x$ he intentado sustituir $\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}=-2$ y obtengo $x=16$ y sustituyendo $\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}\to \infty$ lo cual es imposible, así que no tengo ni idea de qué hacer ahora.

Answer 1

Su trabajo parece correcto: el único lugar donde se produce la igualdad es en $x=16$ . Sustituyendo eso en su ecuación original comprueba, con $6561$ en ambos lados.

Dado que ambos lados de su desigualdad son continuos para $x\ge 0$ el conjunto de soluciones para su desigualdad es $[0,16]$ o $[16,\infty)$ . Una rápida comprobación con la calculadora muestra que la desigualdad es cierta para $x=15$ y falso para $x=17$ . Por lo tanto, la solución es

$x\in[0,16]$

Esto se confirma con un gráfico:

No entiendo su última frase: $\sqrt[4] x-\sqrt x\to-\infty$ comme $x\to\infty$ pero, ¿qué tiene eso que ver con la solución de este problema?

Answer 2

Que ya tiene

$t=3^{\sqrt[4]{x}-\sqrt{x}} \ge \dfrac{1}{9} \iff \sqrt[4]{x}-\sqrt{x} \ge -2 $

$p= \sqrt[4]{x} \ge 0, \implies p-p^2\ge -2 \iff -1\le p \le2 \cap p\ge0 \implies 0 \le p \le 2 \implies 0\le x \le 16 $