Demostrar que el mapa $c:{\mathbb {T}}^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}\setminus\ \Delta\longrightarrow \{\pm 1\}$ es continua.

Question

Demostrar que el mapa $c:{\mathbb {T}}^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}\setminus \Delta\longrightarrow \{\pm 1\}$ es continua donde $\Delta$ es la diagonal $\Delta=\{(g_i,g_j,g_k)\}$ para $i=j$ o $j=k$ o $i=k$ y $c$ tiene las siguientes propiedades:

1)( $\textit{Left-Invarianc}$ ): $c(ag_1,ag_2,ag_3)=c(g_1,g_2,g_3)$ para todos $a,g_1,g_2,g_3\in S^1$ con $g_i\ne g_j$ para cualquier $i$ y $j$

2)( $\textit{Co-cycle condition}$ ): $c(g_1,g_2,g_3)-c(g_1,g_2,g_4)+c(g_1,g_3,g_4)-c(g_2,g_3,g_4)=0$ para todos $g_1,g_2,g_3,g_4\in S^1$ con $g_i\ne g_j$ para cualquier $i$ y $j$

Estas dos condiciones nos dicen básicamente que hay un cierto orden en el círculo que es invariante a la izquierda.

Quiero probar o refutar la continuidad de $c$ donde $\{\pm 1\}$ tiene una topología discreta. Vemos que $\mathbb{T}^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ es un toro tridimensional y no se dan muchos datos topológicos en el artículo de la wiki. Por favor, sugiérame por dónde debo empezar.

EDIT: Imagen tras el comentario de Paul Plummer

Answer 1

Puede elegir un $c$ sea continua. Nótese que eso significa que el 3-toro sin la diagonal gorda tiene al menos dos componentes conectadas. ¿Cómo podemos verlo?

En primer lugar, en lugar de intentar imaginar un 3-toro, imagine tres, posiblemente con multiplicidad, puntos marcados (que se colorean/distinguen entre sí) en el círculo $S^1$ que corresponderá a un punto de $\mathbb T^3$ . Así que si "visualmente" sólo ves dos o un punto marcado significa que algunos puntos marcados se superponen (dos coordenadas son iguales) y también lo es un punto en la diagonal gorda $\Delta$ . Llamemos a los puntos marcados $r,b,g$ y colocado en $-1,i,1$ en $S^1$ . Debe quedar claro que no se pueden mover los puntos marcados para que $r,b,g$ son $-1,-i,1$ sin cruzar la diagonal gorda.

También debe quedar claro, con esta interpretación, que los componentes están fijados por el $S^1$ acción, por lo que $c$ puede asignar a los componentes conectados un único valor, de ahí que la función sea continua.