Hallar el perímetro de una forma

Question

"Dos circunferencias de radios 5 cm y 12 cm se superponen de modo que la distancia entre sus centros es de 13 cm. Halla el perímetro de la forma".

Esta pregunta era de un capítulo sobre la medida del círculo bajo la longitud de un arco en P1 AS Matemáticas.

Gracias.

Answer 1

El perímetro es la suma de los perímetros de los dos círculos menos las longitudes de los arcos interiores. Por lo tanto, en el diagrama siguiente es $2\pi(12+5)-2CD-2CE$ . El arco $CD$ tiene longitud $12\angle ABC$ (donde el ángulo se mide en radianes) y el arco $CE$ tiene longitud $5\angle BAC$ .

Tenemos $\tan ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$ Así que $\angle ABC=\tan^{-1}\frac{5}{12}$ y $\angle BAC=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\frac{5}{12}$ .

Por lo tanto, el perímetro es $29\pi-14\tan^{-1}\frac{5}{12}\approx85.6$

Answer 2

Aquí está mi respuesta. Tienes 2 circunferencias: $x^2+y^2 = 25$ y $(x-13)^2 + y^2 = 144$ . Puedes encontrar la intersección entre las dos circunferencias poniendo en un sistema las dos ecuaciones. Se encuentran 2 puntos: $(1.92,4.62)$ y $(1.92,-4.62)$ . Ahora había que encontrar el ángulo entre el centro de ambas cirumferencias y este punto (utilicé un programa). El ángulo es 225,24° para la primera, y 314,76° para la segunda. Entonces usa la fórmula Arco = (2*pi r ángulo)/360 para ambas circunferencias y suma los resultados. Se obtiene $27.23*\pi$