¿Está bien definida esta función?

Question

Me encontré con la siguiente formulación del problema.

Minimizar el funcional $L[u]$ dada por

$L[u] = \int^b_a \sqrt{(1+(u'(x))^2}$ en $U = \{u\in C([a,b])\cap C^1((a,b)):u(a)=\alpha, u(b) = \beta\}$

Lo que me pregunto es si no deberíamos exigir $u(x)\in C([a,b])\cap C^1([a,b])$ en lugar de $u(x)\in C([a,b])\cap C^1((a,b))$ ? Es decir, ¿no necesitamos $u(x)$ sea continuamente diferenciable ¿hasta el límite?

Si una función es continuamente diferenciable sólo en el intervalo abierto ¿cómo sabemos que $L[u]$ está bien definido?

¿La continuidad de u en el intervalo cerrado $[a,b]$ ¿garantizarlo de algún modo?

Tengo curiosidad porque sé que la función $f(x) = 1/x$ está en $C^1((0,1))$ pero $\int^1_0f'(x)dx $ no está bien definido.

Answer 1

Algunas personas considerarían $u\in C^1(a,b)$ para significar que $u$ es una vez continuamente diferenciable en $(a,b)$ y $$ \sup_{(a,b)} |u(x)| + \sup_{(a,b)} |u'(x)| <\infty. $$ En este caso claramente $L$ se define.

Si no se asume la derivada, tienes razón en que $L$ no estará bien definida: Toma $a=0$ , $b=1$ y $u(x)=x\sin(x^s)$ entonces para $s< -10$ digamos, tenemos $u$ está en su espacio con $\alpha=0$ pero $u'$ no es integrable.