¿por qué es $\sqrt[3]{31}$ tan cerca de $\pi$?

Question

$\sqrt[3]{31}$ es de alrededor de $3.14138$. ¿Por qué es esto tan cerca de la pi?

Answer 1

Esta serie es la razón:

$$ \frac{\pi^3}{32} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} $$

Ahora sólo truncar la serie en el tercer periodo y se multiplican ambos lados por 32.

$$\pi^3\approx 32-\frac{32}{27}+\frac{32}{125}=31 + \left(\frac{32}{125}-\frac{5}{27}\right)$$

Ahora porque

$$\frac{32}{125}-\frac{5}{27}=0.0708148$$

es, por pequeño que acaba de caer.

@chubakueno

No te creo . Puedes probarlo o proporcionar una referencia?

Primero pidió algunas referencias

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulae_involving_%CF%80

http://www.dansmath.com/pages/pipage.html

Introduzca esta en Alpha "Sum[(-1)^n / (2n+1)^3, {n,0,infinity}]//FullSimplify"

De el libro de las Integrales y Series Vol 1 por Prudnikov, Brychkov, Marichev. p653 #2

No tengo una prueba, pero la sospecha de que podría ser posible mediante una serie de Fourier. De todos modos, no corresponde en este hilo así que tal vez debería abrir otro hilo y la pregunta acerca de si la serie citado sumas a lo que las referencias a decir.

Castellano:

$$\pi^3 \approx \left ( 31+\frac{62^2+14}{28^4} \right )$$

Una sorprendente aproximación y parece estar hecho empírico. Aquí la fracción es 10 veces más pequeña que en el otro ejemplo. De nuevo, podemos dejarlo. Parece que nos puede venir para arriba con un montón de estos.

Answer 2

Es una coincidencia. Hay tantos números y tantas combinaciones que puedes hacer con ellos. De hecho, hay más simples aproximaciones, como la de $\frac{355}{113}$, lo que es correcto a 6 dígitos.