Un problema de conectividad .

Question

Para un espacio métrico $X$ demuestre que si $F \subset X$ es cerrado y conexo, entonces para cada par de puntos $a, b \in F$ y cada $\varepsilon > 0$ hay puntos $z_0, z_1, ... , z_n \in F$ con $z_0 = a$ , $z_n = b$ y $d(z_{k1},z_k) < \varepsilon$ para
$1 \le k \le n$ . ¿Es la hipótesis de que $F$ ¿es necesario cerrar?

En realidad, traté de demostrarlo por contradicción, es decir, que existan distintos $a, b \in F$ y no existe ningún conjunto finito de puntos en F tal que se cumpla la condición anterior . Entonces, $\exists \varepsilon>0$ tal que para cualquier conjunto finito de puntos $\{a, z_0, z_1, ..., z_n\} \in F$ existe un número entero positivo $k<n$ con $d(z_{k1},z_k) > \varepsilon$ para cualquier $z \in F$ , $z \ne a,b$ ya sea $d(a,z) < \varepsilon$ o $d(a,z) \ge \varepsilon$ ahora como $F$ está conectado, existe un $z$ con $d(a,z) = d(b,z) = \varepsilon$ entonces no puedo acercarme.

Answer 1

No necesitamos la suposición de que el conjunto $F$ es cerrado, porque podemos restringir nuestra consideración al caso en que $X=F$ (y no está vacío). Fijar cualquier $\varepsilon>0$ . Definir una relación de equivalencia $\sim$ en el plató $F$ como sigue. Para cada $x,y\in F$ poner $x\sim y$ si existe $z_0, z_1, ... , z_n \in F$ con $z_0 = x$ , $z_n = y$ y $d(z_{k−1},z_k) < \varepsilon$ para $1 \le k \le n$ . Sea $K$ sea cualquier clase de equivalencia de la relación $\sim$ y $x\in K$ sea un punto cualquiera. Si $y\in F$ y $d(x,y)<\varepsilon$ entonces $y\in K$ por lo que el conjunto $K$ está abierto en $F$ . Dado que la partición del conjunto $F$ en las clases de equivalencia es una partición en abiertas (en $F$ ), cada una de estas clases también es cerrada. Pero, como el conjunto $F$ es conexa, esto sólo es posible cuando sólo hay una clase de equivalencia. Esto significa que dos puntos cualesquiera $a,b\in F$ son equivalentes, es decir, se cumple la condición.