Para un espacio métrico XX demuestre que si F⊂XF⊂X es cerrado y conexo, entonces para cada par de puntos a,b∈Fa,b∈F y cada ε>0ε>0 hay puntos z0,z1,...,zn∈Fz0,z1,...,zn∈F con z0=az0=a , zn=bzn=b y d(zk1,zk)<εd(zk1,zk)<ε para
1≤k≤n1≤k≤n . ¿Es la hipótesis de que FF ¿es necesario cerrar?
En realidad, traté de demostrarlo por contradicción, es decir, que existan distintos a,b∈Fa,b∈F y no existe ningún conjunto finito de puntos en F tal que se cumpla la condición anterior . Entonces, ∃ε>0∃ε>0 tal que para cualquier conjunto finito de puntos {a,z0,z1,...,zn}∈F{a,z0,z1,...,zn}∈F existe un número entero positivo k<nk<n con d(zk1,zk)>εd(zk1,zk)>ε para cualquier z∈Fz∈F , z≠a,bz≠a,b ya sea d(a,z)<εd(a,z)<ε o d(a,z)≥εd(a,z)≥ε ahora como FF está conectado, existe un zz con d(a,z)=d(b,z)=εd(a,z)=d(b,z)=ε entonces no puedo acercarme.