2 votos

Un problema de conectividad .

Para un espacio métrico XX demuestre que si FXFX es cerrado y conexo, entonces para cada par de puntos a,bFa,bF y cada ε>0ε>0 hay puntos z0,z1,...,znFz0,z1,...,znF con z0=az0=a , zn=bzn=b y d(zk1,zk)<εd(zk1,zk)<ε para
1kn1kn . ¿Es la hipótesis de que FF ¿es necesario cerrar?

En realidad, traté de demostrarlo por contradicción, es decir, que existan distintos a,bFa,bF y no existe ningún conjunto finito de puntos en F tal que se cumpla la condición anterior . Entonces, ε>0ε>0 tal que para cualquier conjunto finito de puntos {a,z0,z1,...,zn}F{a,z0,z1,...,zn}F existe un número entero positivo k<nk<n con d(zk1,zk)>εd(zk1,zk)>ε para cualquier zFzF , za,bza,b ya sea d(a,z)<εd(a,z)<ε o d(a,z)εd(a,z)ε ahora como FF está conectado, existe un zz con d(a,z)=d(b,z)=εd(a,z)=d(b,z)=ε entonces no puedo acercarme.

1voto

richard Puntos 1

No necesitamos la suposición de que el conjunto FF es cerrado, porque podemos restringir nuestra consideración al caso en que X=FX=F (y no está vacío). Fijar cualquier ε>0ε>0 . Definir una relación de equivalencia en el plató FF como sigue. Para cada x,yFx,yF poner xyxy si existe z0,z1,...,znFz0,z1,...,znF con z0=xz0=x , zn=yzn=y y d(zk1,zk)<εd(zk1,zk)<ε para 1kn1kn . Sea KK sea cualquier clase de equivalencia de la relación y xKxK sea un punto cualquiera. Si yFyF y d(x,y)<εd(x,y)<ε entonces yKyK por lo que el conjunto KK está abierto en FF . Dado que la partición del conjunto FF en las clases de equivalencia es una partición en abiertas (en FF ), cada una de estas clases también es cerrada. Pero, como el conjunto FF es conexa, esto sólo es posible cuando sólo hay una clase de equivalencia. Esto significa que dos puntos cualesquiera a,bFa,bF son equivalentes, es decir, se cumple la condición.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X