El mapa $\frac1{1-z}$

Question

Quiero encontrar la imagen del círculo unitario bajo el mapa $\frac1{1-z}$ . Primero reescribí esto como $$\frac{1+z}{1-z^2}$$ Pero en el círculo de la unidad, $z^2 = 1$ . Así que tengo $\infty$ para la imagen de todos los puntos del círculo unitario como resultado. Pero yo pensaba que los fraccionarios lineales siempre mapean círculos a líneas o círculos. ¿Puede alguien indicarme qué he hecho mal?

EDIT: Resulta que estaba confundiendo $z^2$ con $\bar{z}$ por lo que no todos los puntos de la circunferencia unitaria cumplen $z^2 = 1$ . Debería dejar que $z = x + iy$ e introdúcelo en el mapa.

Answer 1

La forma más sencilla de hallar las imágenes de círculos y rectas (círculos generlizados) bajo transformaciones lineales fraccionarias (o transformaciones de Möbius) es simplemente fijarse en tres puntos de la preimagen. Tres puntos en el círculo unitario es 1, $i$ y -1. Ahora dejemos que

$$f(z) = \frac{1}{1-z}$$

y observe que

$$f(1) = \infty, \quad f(i) = \frac{1+i}{2}, \quad f(-1)=\frac{1}{2}.$$

Esto demuestra que la imagen del círculo unitario bajo $f$ es la línea recta que pasa por $\frac{1}{2}(1+i)$ y $\frac{1}{2}$ es decir $\{ z \in \mathbb{C} \, | \, \Re(z) = \frac{1}{2} \}$ .

Answer 2

Sea $w=\frac1{1-z}$ . Entonces, $z=1-\frac1w$ y, con círculo unitario $|z|=1$ $$|z|^2=(1-\frac1w)(1-\frac1{\bar w})=1\implies w+\bar{w}=1 \implies Re(w)=\frac12$$ que es la línea vertical $x=\frac12$ en el plano complejo.

Answer 3

Aquí están pasando tres cosas: $1) z\mapsto-z,2)z\mapsto z+1$ y $3)z\mapsto \dfrac1z$ . La primera es la reflexión sobre el origen, la segunda la traslación y la tercera la inversión.

Pero personalmente prefiero utilizar el método de comprobar lo que le ocurre a $3$ puntos, ya que los círculos generalizados se envían a círculos generalizados mediante transformaciones de Mobius.