¿Cómo se calculan las cuatro últimas ecuaciones de la simetría esférica? ¿Puede explicarlo, por favor? 
Como referencia, véase el ecuaciones 44
Respuesta
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Tenemos $\rho(x) = \bigl(\sum_i x_i^2\bigr)^{1/2}$ Por lo tanto \begin{align*} \partial_i \rho(x) &= \frac 1{2(\sum_j x_j^2)^{1/2}}\cdot 2x_i = \frac{x_i}{\rho(x)}\\ \partial_i^2\rho(x) &= \frac{\rho^2(x) - x_i^2}{\rho^3(x)} \end{align*} En $S$ es esféricamente simétrica, los valores de $S$ sólo dependen de $x$ al origen, es decir, tenemos $S(x) = \tilde S(\rho(x))$ para alguna función $\tilde S$ . $\tilde S$ se indica mediante $S$ de nuevo en su papel, pero voy a escribir $\tilde S$ aquí. Por la regla de la cadena, tenemos \begin{align*} \Delta S &= \sum_i \partial_i^2(\tilde S \circ \rho)\\ &= \sum_i \partial_i(\partial_\rho\tilde S \circ \rho \cdot \partial_i S)\\ &= \sum_i \partial_\rho^2 \tilde S \circ \rho \cdot (\partial_i \rho)^2 + \partial_\rho \tilde S \circ \rho \cdot \partial^2_i \rho\\ &= \partial_\rho^2 \tilde S \circ \rho \cdot \sum_i (\partial_i\rho)^2 + \partial_\rho\tilde S \circ \rho \cdot \sum_i \partial^2_i \rho \end{align*} Utilizando lo anterior, tenemos \begin{align*} \sum_i (\partial_i \rho)^2(x) &= \sum_i \frac{x_i^2}{\rho^2(x)}\\ &= 1\\ \sum_i \partial_i^2\rho(x) &= \sum_i \frac{\rho^2(x) - x_i^2}{\rho^3(x)}\\ &= \frac{d\rho^2(x) - \sum_i x_i^2}{\rho^3(x)}\\ &= \frac{d\rho^2(x) - \rho^2(x)}{\rho^3(x)}\\ &= \frac{d-1}{\rho(x)} \end{align*} Utilizando esto, obtenemos $$ \Delta S(x) = \partial_\rho^2 \tilde S(\rho(x)) + \frac{d-1}{\rho(x)} \cdot \partial_\rho \tilde S(\rho(x)) $$ o en la notación del documento $$ \Delta S = \partial_\rho^2 S + \frac{d-1}{\rho} \cdot \partial_\rho S $$
