Es el conjunto de puntos ${i/n},\,n=1,2,3\ldots$ en el plano complejo un conjunto cerrado?

Question

Se dice que un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límite, donde un punto límite de un conjunto en el plano complejo es cualquier punto tal que cada vecindad del punto límite contiene al menos un punto en el conjunto y al menos un punto que no está en el conjunto. A primera vista, supuse que el conjunto $S$ definido por $S=\{ i/n\,\vert \,n\in\mathbb{Z}^+\}$ es cerrado, ya que cada punto $i/n$ es un punto límite del conjunto y es un elemento del conjunto. Sin embargo, cuanto más lo pienso, más me parece que el número complejo $z=0$ es también un punto límite del conjunto, ya que cualquier vecindad de $0$ debe contener un número complejo arbitrariamente próximo a $0$ en el eje imaginario positivo (y por tanto en $S$ ) y $0$ (que no está en $S$ ). Dado que este punto límite $z=0$ no está contenido en el conjunto, $S$ no contiene todos sus puntos límite y, por lo tanto, no es cerrado. Sé que esto no es una prueba rigurosa de mi afirmación, pero ¿es correcto este razonamiento?

Answer 1

Sí, tu razonamiento y tu conclusión son correctos.

¿Rigoroso? Básicamente. Supongo que podrías añadir el detalle de mostrar que cualquier disco abierto alrededor de $0 \in \mathbb{C}$ contiene puntos en su secuencia. Un disco de este tipo viene definido por la desigualdad $|z| < \varepsilon$ para algunos $\varepsilon > 0$ . Ahora, para cualquier $n > \tfrac{1}{\varepsilon}$ , $$ \biggl\lvert \frac{i}{n} \biggr\rvert = \frac{1}{n} < \varepsilon, $$ así que el punto $\tfrac{i}{n}$ en su conjunto está en la vecindad de $0$ .

Answer 2

Sí, su razonamiento es correcto.

Sea $(X,d_{X})$ sea un espacio métrico.

Decimos que un conjunto $E\subseteq X$ es cerrado si contiene todos sus puntos adherentes (es decir. $E\supseteq\overline{E})$ .

Dicho esto, observe que \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{i}{n} = 0 \end{align*} por lo que podemos concluir (debido a la caracterización secuencial del punto adherente) que $0$ es un punto adherente de $S$ .

Por otro lado, $0\not\in S$ . En consecuencia, el conjunto dado no es cerrado.

Espero que esto ayude.

Answer 3

No tiene que tratar con números complejos ya que dispone de una asignación $\mathbb{C} \mapsto \mathbb{R}$ dado por $x: x^2$ o $S_{\mathbb{N}}=\{n \in \mathbb{N}:-\frac{1}{n^2}\}$ pero $S_{\mathbb{N}}$ no es un conjunto cerrado, por lo que no puede asignarse a un conjunto cerrado.