¿Existe una sucesión de polinomios reales que convergen uniformemente en un intervalo en $\mathbb{R}$ pero no en un rectángulo en $\mathbb{C}$ ?

Question

En particular, me preguntaba lo siguiente: La función Weierstrass $\mathcal{W}$ es continua y no diferenciable en ninguna parte. Por el teorema de Stone-Weierstrass podemos aproximar $\mathcal{W}$ en $[0,1]$ uniformemente por polinomios reales. Sea $p_n(x)$ sea tal secuencia de polinomios. Ahora consideramos el $p_n$ como polinomios complejos. En $[0,1]$ el $p_n$ convergen puntualmente a $\mathcal{W}$ . En $[0,1]\times i[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\subseteq\mathbb{C}$ sin embargo esta convergencia ya no puede ser uniforme, ya que esto implicaría holomorfía en $(0,1)\times i(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ lo que implicaría diferenciabilidad real en $(0,1)$ .

Me parece muy poco intuitivo, por lo que me gustaría ver un ejemplo concreto de una secuencia de polinomios que convergen uniformemente en algunos $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ pero no convergen uniformemente en ningún $[a,b]\times i[-\epsilon,\epsilon]\subseteq\mathbb{C}$ a ser posible con una comprobación directa de que éste (no) es el caso.

Answer 1

Un ejemplo sencillo $p_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-x)^k}{k}$ que es el $n$ polinomio de Taylor de $-\ln(1+x)$ . La serie de potencias $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k}$ converge puntualmente en $[0,1)$ (prueba de relación) y también en $x=1$ (es la serie armónica alterna). Por tanto Teorema de Abel la serie converge uniformemente en $[0,1]$ . Sin embargo, la prueba de la proporción también deja claro que la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k}$ diverge en cada $z$ con $|z|>1$ en particular, diverge en $z=1 \pm \epsilon i$ para cualquier $\epsilon > 0$ .

Esto demuestra que la secuencia de polinomios $p_n$ converge uniformemente en $[0,1]$ pero ni siquiera converge puntualmente en ningún rectángulo $[0,1] \times [-\epsilon, \epsilon] \subset \mathbb{C}$ o incluso $[0,1) \times [-\epsilon, \epsilon]$ .