Imaginemos que tenemos una esfera. Fijaremos el sistema de coordenadas ortogonales $xyz$ . Primero, pintamos la semiesfera inferior de algún color(por inferior me refiero a que situamos el centro de la esfera en el origen, y la semiesfera con negativo $y$ -será la inferior). Después giramos la esfera (aleatoriamente) y volvemos a pintar el hemisferio inferior. ¿Cuál es el valor esperado para el número de tales rotaciones para que la esfera será totalmente pintado. En primer lugar, considero el caso más simple. Sólo un círculo. Por lo tanto, no hay información para la distribución de elegir al azar de rotación, por lo que será $U[0;\pi]$ (uniforme). Así pues $\xi \in U[0;\pi]$ el ángulo de rotación (también, tenemos la libertad de elegir la rotación en sentido horario o no, pero no se me ocurrió cómo puedo manejarlo). Ahora, dejemos que $N_{\pi} =\{ min n : \sum_{i=0}^n \xi_i > \pi\}$ . Podemos encontrar fácilmente el valor esperado de dicha variable aleatoria mediante la fórmula de recursión (no la proporcionaré, ya que es bastante fácil, y además no tuvimos en cuenta la elección de la dirección de rotación). Incluso si pudiera resolver el caso más fácil. No sé cómo aplicarlo al problema original.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para un círculo, la probabilidad que necesita para pintar exactamente $n$ mitades es $\frac{n-2}{2^{n-1}}$ para $n\ge 3$ y el número esperado de mitades pintadas es $5$ . Ver las preguntas relacionadas Probabilidad de que n puntos de una circunferencia estén en un semicírculo y Girar un disco y pintar una mitad - después se pinta todo el disco de probabilidad $n$ ¿Pasos?
Para una esfera, se consideró Kevin Brown donde daba la probabilidad de no tener éxito tras $n$ mitades (es decir, que todos los puntos estén en el mismo hemisferio, como señala Greg Martin) de $\frac{n^2-n+2}{2^n}$ . Esto implicaría la probabilidad de necesitar pintar exactamente $n$ mitades de $\frac{(n-3)(n-2)}{2^n}$ para $n\ge 4$ y un número esperado de mitades pintadas de $7$
