Supongamos que $T$ es inyectiva, ¿cómo demostrar que $T^* T$ ¿es inyectiva?

Question

Supongamos que $(V,\langle \ , \ \rangle_V)$ y $(W,\langle \ , \ \rangle_W)$ son espacios de producto interno de dimensión finita y $T : V \rightarrow W$ es una transformación lineal inyectiva. Demostrar que $T^*T : V \rightarrow V$ es inyectiva.

No estoy seguro de cómo demostrarlo. He demostrado que $T^*$ es suryectiva, pero no sé cómo proceder. ¿Alguien me puede dar alguna pista?

EDITAR: Se me acaba de ocurrir una forma, ¿quizás alguien pueda decirme si es correcta? Deja $v \in V$ tal que $T^* T v = 0$ . Tomando el producto interior con $v$ en ambos lados (¿es válido?) tenemos $$ \langle T^* T v,v \rangle = \langle T v, T v \rangle = 0 $$ Esto implica que $T v = 0$ . Desde $T$ es inyectiva significa que $v = 0$ .

Answer 1

Pista:

En general $\ker T =\ker T^*T$ por lo que una es inyectiva si y sólo si la otra lo es.

Es decir, claramente $\ker T \subseteq \ker T^*T$ . Por el contrario

$$x \in \ker T^*T \implies T^*Tx = 0 \implies 0 = \langle T^*Tx, x\rangle = \langle Tx, Tx\rangle \implies Tx = 0\implies x \in \ker T$$