Cierre uniforme de polinomios

Question

¿Qué significa "cierre uniforme de polinomios"? Lo he visto en Conway's Análisis funcional libro VII § 5.

Answer 1

La cita completa es:

Si $\partial\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ , dejemos que $B=$ el cierre uniforme de los polinomios en $C(\partial\mathbb{D})$ .

Es decir: considere el conjunto de todas las funciones continuas sobre $\partial\mathbb{D}$ dotado de la norma uniforme $\|f\|=\sup_{\partial \mathbb{D}}|f|$ . Este espacio se denomina $C(\partial\mathbb{D})$ . Los polinomios forman un subconjunto de este espacio. El cierre de este subespacio es el conjunto de todos los límites de secuencias uniformemente convergentes de polinomios.

Por ejemplo, la función $z\mapsto \exp(z)$ pertenece a este cierre, porque la secuencia de sumas parciales de la función exponencial converge uniformemente en el círculo unitario. Por otra parte, la conjugación $z\mapsto \bar z$ no pertenece a la clausura, lo que puede demostrarse con el principio de argumentación (sus valores se mueven en el sentido equivocado $0$ al trazar el círculo).