Es $K_n$ compacto en $l^{\infty}(\mathbb{R})$

Question

Considere $X=l^{\infty}(\mathbb{R})$ el espacio de todas las sucesiones acotadas de números reales dotadas de la norma sup. Me gustaría saber dos cosas sobre este espacio de Banach:

1. ¿Son los conjuntos $K_n=[-n,n]^{\mathbb{N}}$ ¿compactos?

2. Tiene los conjuntos $K_n=[-n,n]^{\mathbb{N}}$ ¿interior no vacío?

Nota: Me gustaría saber esto piensa que se superponen algunos técnicos en un problema en el que estoy trabajando.

Answer 1

Tenga en cuenta que $K_{n}$ es la bola cerrada centrada en 0 y con radio $n$ en tu espacio. Por eso tiene un interior no vacío. No es compacto: las secuencias $s_{n}$ tal que $s_{n}(m) = \delta_{n,m}$ son una secuencia en su espacio que no tiene subsecuencia convergente, porque $\lVert s_{n}-s_{m} \rVert = 1$