Polígono regular de radio $1$ con diagonales: anillo misterioso de radio $1/e$ ?

Question

Estaba jugando con un applet geogebra que muestra regularmente $n$ -gonos de radio $1$ con sus diagonales. Por ejemplo $12$ -gon con sus diagonales:

Para cualquier valor de $n$ cuando encojo la imagen, ésta se oscurece (debido al grosor de las líneas), pero a veces queda un débil anillo blanco único que indica un anillo de células excepcionalmente grandes. Por ejemplo:

$n=20$

$n=45$

$n=50$

Esto es lo interesante: El radio del anillo blanco siempre parece ser aproximadamente $1/e$ . (He utilizado Regla de pantalla perfecta .)

Para algunos $n$ -valores, no puedo percibir ni un solo anillo blanco; supongo que sigue existiendo pero no es perceptible debido a las limitaciones de pixelación y/o agudeza visual.

Puedo formalizar mi conjetura de la siguiente manera:

En un $n$ -gono de radio $1$ con sus diagonales, si $d_n=$ distancia entre el centro y el centroide de una de las celdas de mayor superficie (excluida la celda central cuando $n$ es impar), entonces $$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=\frac{1}{e}$$

Pregunta: ¿Es cierta mi conjetura?

(Esta pregunta se inspira en otra: Distribución de las zonas en $n$ -con diagonales, como $n\to\infty$ .)

Answer 1

Tengo dos gráficos. Se refieren a puntos blancos, que son pequeños discos en el círculo unitario no atravesados por ninguna cuerda.

El primer gráfico muestra el tamaño de los puntos blancos más grandes, para cada polígono de hasta 200 lados. Parece coincidir $3/n^{1.5}$ bien, donde $n$ es el número de lados del polígono.

Hice el siguiente cálculo para cada valor de $n$ de $n=1$ a $n=200$ . (No sé para qué sirve el polígono $n=1$ y $n=2$ .)
Tomé una matriz de puntos en coordenadas polares, donde $r$ oscilaban entre $0.1$ a $1$ en pasos de $0.0001$ y $\theta$ en $100$ pasos de $0$ a $2\pi/n$ . Eso cubre una cuña del círculo unitario excepto el centro del círculo; los cálculos son periódicos en theta. Mi primer gráfico, arriba, muestra que la cuadrícula es lo suficientemente fina como para aterrizar cerca del centro del punto blanco más grande. $r$ pasos por $0.0001$ mientras que el punto blanco más grande tiene un tamaño mínimo de $0.001$ . Para cada punto de la matriz, he calculado la distancia mínima a cualquiera de las cuerdas. El punto blanco más grande es el punto de la matriz donde la distancia mínima es mayor.

El segundo gráfico muestra el $r$ posición de los puntos blancos más grandes. Estas posiciones suelen estar cerca de $0.35r$ , $0.5r$ y $0.6r$ pero de ninguna manera con precisión. Quizás necesite una cuadrícula más fina cuando $n>160$ .

Los puntos blancos más grandes destacan bien cuando son mucho más grandes que los segundos puntos blancos más grandes. OP descubrió que eso era cierto para $n=20,45,50$ también es cierto para $n=143$