Tengo alguna función $f(x)$ que quiero maximizar
$$f(x)=\frac{e^{\frac{1}{\rho-1}x^{1-\rho}}}{e^{\frac{1}{\rho-1}x^{1-\rho}}+e^{\frac{1}{\rho-1}b^{1-\rho}}}$$ Dónde $0<\rho<1$ y $b,x>0$
$f(x)$ no tiene un valor máximo global, pero sé que $f(x)$ se maximiza (sujeto a una restricción) cuando $\frac{df(x)}{dx}=c$ donde $c$ es una constante positiva. Entonces tenemos
$$argmax_{x\in{R}}(f(x)) \iff\frac{df(x)}{dx}=\frac{e^{\frac{1}{\rho-1}x^{1-\rho}+\frac{1}{\rho-1}b^{1-\rho}}}{x^{\rho}\big(e^{\frac{1}{\rho-1}x^{1-\rho}}+e^{\frac{1}{\rho-1}b^{1-\rho}}\big)^2}=c$$
Esto no me permite resolver para $x$ (es sencillamente intratable). Sin embargo, puedo graficar la derivada y ver donde equivale a $c$ (véase aquí ). Por lo tanto, parece que debería existir un máximo, pero simplemente no puedo expresarlo. ¿Hay alguna forma de superar este problema? ¿Existen otros métodos para optimizar sujeto a restricciones sin diferenciación?
