Sea $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de subconjuntos medibles disjuntos de un intervalo $[a,b]$ . Definir la secuencia de funciones,
$$ f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{m(A_n)}}\chi_{A_n}(x); \;\;\ x \in [a,b]$$
donde $m$ es la medida de Lebesgue. Demostrar o refutar :
1) Para cada $x \in [a,b], \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = 0$
2) Para cualquier $g \in L^2[0,1], \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_a^bf_n(x)g(x)dx = 0$
Creo que 1) es cierto. Si fijamos un $x \in [a,b]$ entonces $x$ debe pertenecer a uno y sólo a uno $A_n$ Llámalo $A_N$ .el para todos $n \geq N$ , $f_n(x) = 0$ .
Para 2), mi idea inicial era intentar dominar el integrando por algún $L^1$ para aplicar la DCT. Pero el denominador en $f_n$ está echando a perder las cosas. ¿Es cierta esta afirmación?
