Para cualquier función $f: \Bbb{N}^{\times} \to \Bbb{N}^{\times}$ , $|f(n) - f(m)|$ es un pseudométrico en $\Bbb{N}^{\times}$ . En $f = \Omega$ el número de divisores primos incluyendo la multiplicidad, obtenemos un monoide topológico sobre $\Bbb{N}^{\times}$ . Esto se debe a que el balón abierto $B_{r}^{\Omega}(n) = \{m \in \Bbb{N}^{\times} : |\Omega(m) - \Omega(n)| \lt r\} = \biguplus\limits_i P^{k_i}$ donde $P = \{ p \in \Bbb{N}^{\times} : p $ es primo $\}$ , $P^k = \{k$ -productos de primos $\}$ y $|k_i - \Omega(n) | \lt r$ . Así que el mapa $a\cdot : \Bbb{N}^{\times} \to \Bbb{N}^{\times} : x \mapsto ax$ tiene imágenes inversas $(a\cdot)^{-1}(B_r^{\Omega}(n)) = \biguplus\limits_i P^{k_i - \Omega(a)} = $ alguna bola.
La pseudometría traducida $|f(n + t) - f(m + t)|$ generan la misma topología que el $t = 0$ pseudomtric.
Sea $B_r^0(n) = B_r^{\Omega}(n)$ como arriba. Y que $B^t_r(n)$ denotan bolas trasladadas. Entonces existe el mapa $B_r^0(n) \to B_r^t(n - t)$ dada por $x \mapsto x - t$ . Por lo tanto, siempre y cuando cortemos la primera $t$ elementos de $\Bbb{N}^{\times}$ a saber $S = \Bbb{N}^{\times} \setminus \{1, \dots, t\}$ tenemos un homeomorfismo dado por $x \mapsto x - t : S \to S$ .
Prueba : $$x \in B_r^0(n) \implies x - t \in B_r^t(n - t) = \\ \{m: |f(m+t) - f(n - t + t)| \lt r \} = \{m: |f(m + t) - f(n)|\lt r\}$$
Así que esto debe implicar que $g(n): \Bbb{N}^{\times}\setminus \{1\} : n \to n \pm 1$ son ambas continuas en la topología generada por cualquiera de las métricas $d_t (m,n) := |f(m + t) - f(n + t)|$ .
Dado que como hemos dicho estamos en un semigrupo topológico, tenemos que $g(n) = (n-1)(n+1) = n^2 - 1$ también es continua.
Ningún conjunto abierto en $(\Bbb{N}^{\times}\setminus \{1\}, d_0)$ es finito. Esto está claro ya que para cualquier bola abierta de radio $r$ y fijo $\Omega(n)$ hay un número infinito de múltiplos de primos $m$ que sean inferiores a $r$ lejos.
$P^2$ está abierto; es igual a $B_{2}^0(p) = \{m : |\Omega(m) - 1| \lt 2 \}$ para cualquier primo $p$ .
$g^{-1}(P^2)$ no puede ser finito, ya que $g$ es continua. Si la conjetura de los primos gemelos fuera falsa, entonces sólo habría un número finito de $n \in \Bbb{N}^{\times}\setminus \{1\}$ tal que $g(n) \in P^2$ ya que un primo gemelo se produce si y sólo si el número entre ellos elevado al cuadrado menos $1$ es igual al producto de los dos primos; en otras palabras, $n^2 - 1 = pq$ .
Así, puesto que $g^{-1}(P^2)$ es infinito, la conjetura de los primos gemelos debe ser cierta.
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