Evaluación integral $\int\limits_0^1\sqrt{(1-x^2)^n} \sin(kx) dx$

Question

Me interesa la evaluación de

$$\int^1_0 \left(1-x^2\right)^{n/2} \sin(kx)\, dx$$

Realmente $n$ es aquí un número entero impar (el caso par es fácil).

Ooops, creo que la publicación

Integral $\int_{-1}^1 \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

lo cubre todo, especialmente la respuesta de J.M.

Answer 1

Establecer $x = \cos(\theta)$ . Esto nos da $$I = \int_0^{\pi/2} \sin^{n/2}(\theta) \sin(k \cos(\theta)) \sin(\theta) d\theta = \int_0^{\pi/2} \sin(k \cos(\theta)) \sin^{n/2+1}(\theta) d\theta$$ La integral puede expresarse en términos de Función Struve .

$$H_{\alpha}(k) = \dfrac{2(k/2)^{\alpha}}{\sqrt{\pi} \Gamma(\alpha + 1/2)} \int_0^{\pi/2} \sin(k\cos(\theta)) \sin^{2 \alpha}(\theta) d \theta$$ En nuestro caso, $\alpha = \dfrac{n}4 + \dfrac12$ .

Por lo tanto, $$I = \int_0^{\pi/2} \sin(k \cos(\theta)) \sin^{n/2+1}(\theta) d\theta = \dfrac{\sqrt{\pi} \Gamma(n/4+1)}{2(k/2)^{n/4+1/2}} H_{n/4+1/2}(k)$$