Notación de la doble suma

Question

Hay un debate con algunos colegas sobre el significado de la notación $\sum_{(i,m) \neq (j,n)}$ . ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

1) $\sum_{(i,m) \neq (j,n)} a_{i} b_{m} = \sum_{i} \sum_{m} a_{i} b_{m} - a_{j} b_{n}$

2) $\sum_{(i,m) \neq (j,n)} a_{i} b_{m} = \sum_{i \neq j} \sum_{m \neq n} a_{i} b_{m}$

Tiendo a decir que la primera es correcta ya que $(i,m) \neq (j,n)$ debe referirse al par y no a los índices individuales.

Answer 1

El significado de

$$\sum_{(i,m)\neq (j,n)} a_ib_m$$

es "la suma de todos los valores $i,m$ excepto el par $(j,n)$ ." Así que la primera suma es la correcta. Alternativamente, podrías escribir la misma expresión como

$$\sum_{i\neq j}\sum_{m}a_i b_m + \sum_{m\neq n} a_jb_m$$

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Su segunda expresión también excluye todos los valores de la forma $(i,n)$ de la suma, lo que no es correcto.