Soluciones enteras a $\left(p + \frac{r}{a}\right)\left(p -1 + \frac{r}{a}\right) - \left(m + \frac{1}{a}\right)\left(m - 1+ \frac{1}{a}\right) = 0$

Question

Mi pregunta se refiere a la expresión $$\left(p + \frac{r}{a}\right)\left(p -1 + \frac{r}{a}\right) - \left(m + \frac{1}{a}\right)\left(m - 1+ \frac{1}{a}\right) = 0.$$ Aquí $p,r,a,m\in \mathbb{Z}^+$ y $r < a$ . Intento demostrar que la ecuación anterior se cumple si y sólo si $r = 1$ (lo que implica que $p = m$ ). La dirección de avance es trivial. Tengo problemas con el sentido inverso. No sé por dónde empezar ni qué herramientas utilizar. ¿Cómo se puede demostrar que la expresión anterior implica $r = 1$ (equivalentemente $p = m$ )?

He intentado multiplicar las expresiones sólo para obtener (como era de esperar) una relación similar a la anterior, pero con más términos y menos "simetría" entre los dos productos. También probé suponiendo $p \neq m$ y escribir $p = m + s$ para algún número entero $s$ con la esperanza de concluir $s = 0$ pero surgió el mismo problema que en mi primer intento.

Answer 1

Su expresión es

$$\left(p + \frac{r}{a}\right)\left(p -1 + \frac{r}{a}\right) - \left(m + \frac{1}{a}\right)\left(m - 1+ \frac{1}{a}\right) = 0 \tag{1}\label{eq1}$$

Si dejas que

$$b = p + \frac{r}{a} \tag{2}\label{eq2}$$ $$c = m + \frac{1}{a} \tag{3}\label{eq3}$$

y desplazando el segundo término hacia la derecha, \eqref {eq1} se convierte en

$$b(b - 1) = c(c - 1) \tag{4}\label{eq4}$$

En general $b = c$ o son $2$ valores distintos de $x$ donde $y = f(x) = x(x - 1)$ tienen el mismo valor de $y$ . Tenga en cuenta que $f(x)$ es una parábola cóncava ascendente con un mínimo y una línea de simetría horizontal en $x = \frac{1}{2}$ . Como tal, para $b \neq c$ Esto significa que hay $t \neq 0$ tal que $b = \frac{1}{2} + t$ y $c = \frac{1}{2} - t$ que desde \eqref {eq2} y \eqref {eq3} da

$$\frac{1}{2} + t = p + \frac{r}{a} \tag{5}\label{eq5}$$ $$\frac{1}{2} - t = m + \frac{1}{a} \tag{6}\label{eq6}$$

Añadir \eqref {eq5} y \eqref {eq6} da

$$1 = p + m + \frac{r + 1}{a} \tag{7}\label{eq7}$$

Sin embargo, dado que $p,r,a,m\in \mathbb{Z}^+$ esta ecuación no es posible ya que el lado derecho es $> 2$ . Por lo tanto, la única posibilidad es que $b = c$ es decir,

$$p + \frac{r}{a} = m + \frac{1}{a} \; \implies \; \frac{r - 1}{a} = m - p \tag{8}\label{eq8}$$

El lado derecho es un número entero y como $1 \le r \lt a$ el lado izquierdo sólo puede ser un número entero si $r = 1$ lo que significa también que $p = m$ . Esto demuestra que la única solución es la que usted ha expuesto.