Estructura de anillos para grupos no conmutativos: ¿Existe una razón mayor para los requisitos abelianos?

Question

Así que estaba considerando la siguiente idea. Sea un anillo generalizado $gR$ sea un conjunto dotado de dos operaciones $$u_1, u_2$$

Tal que así $gR$ es un grupo con la operación $u_1$ y la operación $u_2$ distribuye sobre $u_1$ (dado por):

$$ u_2(a,u_1(b,c)) = u_1(u_2(a,b), u_2(a,c)) $$

Además, $u_2$ es asociativo, cerrado y tiene un elemento identidad $s$ que no es lo mismo que la identidad $t$ de $u_1$ (esto es un requisito un poco artificial ahora que lo pienso).

Escribí algo de código para empezar a encontrar automáticamente grupos, y luego encontrar anillos generalizados que existen sobre estos grupos:

https://github.com/frogeyedpeas/RingWarrior/blob/master/findingRings.py

Pero... sólo los grupos abelianos parecen soportar algún tipo de estructura de anillo (con algunos de ellos soportando una explosión de anillos diferentes para el mismo grupo subyacente).

¿Por qué? Sé que la definición original de los anillos es que el grupo sobre el que se construye es abeliano. Pero mi programa de ordenador parece sugerir que los grupos abelianos SON el único tipo de estructura que podría soportar un objeto similar a un anillo sobre ellos.

¿Hay alguna forma de demostrarlo?

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Para que quede claro lo que quiero demostrar:

Dado un conjunto $X$ tal que hay dos operaciones binarias

$$ u_1, u_2 $$

Definido y cerrado sobre los elementos del conjunto. Tal que para cualquier $a,b,c \in X$

$$ u_1(u_1(a,b),c) = u_1(a,u_1(b,c)) \ \text{associative}$$ $$ u_2(u_2(a,b),c) = u_2(a,u_2(b,c)) \ \text{associative}$$ $$ u_2(c,u_1(a,b)) = u_1(u_2(c,a),u_2(c,b)) \ \text{distributive}$$

Y existen elementos de identidad $t,s$ tal que $t \ne s$ y

$$ u_1(t,a) = a \forall a \in X$$ $$ u_2(s,a) = a \forall a \in X$$

Y para cada elemento $m \in X$ existe un único $n(m) \in X$ tal que

$$ u_1(m,n(m)) = u_1(n(m),m) = t$$

Quiero demostrar que esto implica que $u_1$ es una operación conmutativa.

$$ u_1(a,b) = u_1(b,a) \forall a,b \in X$$

Dado que experimentalmente eso es lo que parece sugerir

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino un comentario extenso.

En sus comentarios, afirma que el elemento de identidad $s$ es único. No estoy seguro de cómo demostrar esto a partir de los axiomas, pero bueno. De todos modos, no estoy convencido de que hayas mirado suficientes ejemplos. ¿Por qué no haces $D_8$ y $Q_8$ ?

Si coges un grupo $G$ con $u_1$ la multiplicación de grupo habitual, entonces su ley distributiva dice que $u_2$ factores como mapa $$u_2:G\times G\to\mathrm{Hom}(G,G)\times G\to G.$$

Para grupos abelianos, cualquier homomorfismo de anillo inyectivo $G\to\mathrm{Hom}(G,G)=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(G,G)$ determina un anillo generalizado (hay $\mathrm{Aut}_{\mathrm{ring}}(G)$ muchos).

No estoy seguro de lo que es posible para los grupos no abelianos, y es posible que desee obtener algunos datos sobre los grupos en los que $G/Z(G)$ es abeliano. Además, obtendrás anillos más generalizados si relajas el requisito de "s es único".