producto de dos funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo

Question

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones uniformemente continuas definidas en $(a,b)$ . Demuestra que $fg$ también es uniformemente continua en $(a,b)$ .

Mi intento: Desde $f$ es uniformemente continua en $(a,b)$ para todos $ \epsilon >0$ Tenemos $ \delta_f ( \epsilon )>0$ de tal manera que para todos $x,y \in (a,b)$ , $|x-y|< \delta_f $ , $|f(x)-f(y)|< \epsilon $

Desde $g$ es uniformemente continua en $(a,b)$ para todos $ \epsilon >0$ Tenemos $ \delta_g ( \epsilon )>0$ de tal manera que para todos $x,y \in (a,b)$ , $|x-y|< \delta_g $ , $|g(x)-g(y)|< \epsilon $

Fíjate en que $$|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)| \leq |f(x)||g(x)-g(y)| + |g(y)||f(x)-f(y)|$$

Aquí no sé cómo atar $|f(x)|$ y $|g(y)|$ . He probado que las funciones uniformemente continuas conservan el límite de un intervalo, es decir. $f$ está limitado a $(a,b)$ . ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Hay una buena manera:

Una pista: Intenta demostrar que si f, g son uniformemente continuas, también lo son $f \pm g$ y $f^2$ . Entonces observe que $fg = 0.5((f+g)^2 - f^2 -g^2)$ . Espero que esto ayude.

Answer 2

$f$ y $g$ son continuas en $[a,b]$ Por lo tanto, está limitado

intentar mostrar : $\lim_{x\rightarrow a+} f(x)$ y $\lim_{x\rightarrow b-} f(x) $ existen como límites finitos.

Answer 3

Para que el producto de dos funciones uniformemente continuas sea uniformemente continuo, las dos funciones deben estar acotadas.

Answer 4

$f$ continuo uniforme sobre $(a,b)$ implica $\exists \varepsilon > 0$ tal que $|f(x)-f(y)|< 1$ siempre que $|x - y| < \varepsilon$ . Elige un $N \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{b-a}{N} < \varepsilon$ tenemos entonces..:

$$ \min_{i=1 \ldots N-1} f(a + \frac{i}{N})- 1 < f(x) < \max_{i=1 \ldots N-1} f(a + \frac{i}{N}) +1$$ porque cada $x \in (a,b)$ está a una distancia $< \varepsilon$ de uno de los $a + \frac{i}{N}, i=1 \ldots N-1$ .

Answer 5

el producto de dos funciones uniformemente continuas no es necesariamente uniformemente continuo, por ejemplo $f(x)=x$ y $g(x)= \sin x$ son uniformemente continuas en $(0,1)$ pero $f \cdot g no lo es.