Operadores lineales y valores propios

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial n-dimensional y defina los operadores $T, \space G:V\rightarrow V$ sobre un campo arbitrario $\mathbb{F}$ con char( $\mathbb{F})=0$ . Supongamos que $T^n=0$ , $\text{null}(T) = 1$ y $GT- TG = T.$ Demostrar que los valores propios de $G$ son de la forma $\alpha,$ $\alpha -1, \alpha-2, \dots, \alpha-(n-1)$ , para $\alpha \in \mathbb{F}$ .

Mi intento:

Por supuesto, $\text{null}(T)=1$ por lo que existe un vector distinto de cero $v \in \text{ker}(T)$ . Claramente, $0= T(v)=(GT- TG)(v) \Rightarrow T(G(v))=0 \Rightarrow G(v) \in \text{ker}(T)$ lo que implica que $\text{ker}(T)$ es $G$ -invariante .

Sea $u$ sea un vector propio de $G$ entonces $G(u) = \lambda u$ para algunos $\lambda \in \mathbb{F}$ y tenemos que $(GT - TG)(u) = T(u) \Rightarrow G(T(u)) = (\lambda+1)T(u)$ .

Por lo tanto, si $u$ es un vector propio de $G$ con un valor propio $\lambda$ entonces $T(u)$ es un vector propio con valor propio $(\lambda+1)$ .

Pero no sé lo que voy a hacer con esto ..

Answer 1

Pista: Ya casi está. Ligera corrección: supongamos que $u$ es un vector propio de $G$ con valor propio $\lambda$ . Entonces, como calculaste, encontramos que $$ G(T(u)) = (\lambda+1)T(u) $$ Es decir, tenemos dos posibilidades: o bien $T(u)$ es un vector propio de $G$ asociado a $\lambda+1$ o $T(u) = 0$ es decir $T(u) \in \ker G$ . Porque $\operatorname{null}(T) = 1$ podemos deducir que $T(u) = 0$ ocurrirá exactamente para un vector propio de $G$ .