¿Pueden las EDO no lineales de segundo orden tener soluciones no diferenciables?

Question

Recientemente he estado expuesto a la idea de que pueden existir soluciones a sistemas sin soluciones analíticas (simbólicas). Sin embargo, no he podido encontrar ninguna fuente a la cuestión de si un segundo orden no lineal ODE de la forma: $$\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$$ puede tener una solución no diferenciable, donde g(x) es una función no lineal que es continua en todas partes y diferenciable, así como integrable y $\alpha \in \mathbb{R}_ {>0} $ .

¿Existe también algún método para demostrar que todas las soluciones deben ser diferenciables en todas partes dentro del dominio $t>0$ ?

Answer 1

Por definición, una solución de esta ecuación es una función cuya segunda derivada satisface la ecuación. Por lo tanto, la solución tiene que ser dos veces diferenciable. Existen conceptos ampliados de soluciones que pueden no ser diferenciables, cuando el lado derecho contiene objetos como impulsos.

No veo cómo podría ocurrir esto en tu ecuación, ya que g es continua. Una solución puede no existir si g no respeta las condiciones de Lipschitz (grosso modo, si la derivada de g es demasiado grande con respecto a g), pero si existe una solución, es continua.