¿Cómo puedo resolver esta comparación entre sumas?

Question

$Suppose\;m\;intergal\;and\;m\ge2$

$Which \;of\; these \;sums\; is\; asymptotically\; closer \;to\; the\; value\; log_mn!?$

$ \sum_{k=1}^n\lfloor\;log_m k\;\rfloor$

$Or$

$\sum_{k=1}^n\lceil\;log_m k\;\rceil$

¿Tiene algo que ver con la fórmula de Stirling?

Answer 1

Supongamos que $m$ es mayor que $n!$ y $n\geq 2$ . Así, $\log_m{n!}<1$ pero para $1< k\leq n$ $$\lfloor\log_m k\rfloor=0\\\lceil\log_m k\rceil=1$$ lo que se traduce en $$\sum_{k=1}^n \lfloor\log_m k\rfloor=0\\\sum_{k=1}^n \lceil\log_m k\rceil=n-1\\$$ Obviamente para estos casos la función suelo proporciona una mejor aproximación, aunque nada más que cero. Sin embargo, puede haber casos con el resultado contrario.