Lo que propones es muy razonable, por supuesto, ya que cuando creemos en una teoría T, entonces es natural que creamos también que T es consistente. Y los axiomas que propones añadir a ZFC formalizan este proceso. La cuestión (filosófica) aquí es, ¿encuentra este proceso de alguna manera una culminación?
(Permítame objetar su observación de que podemos formalizar ZFC α para cualquier ordinal α. Necesitamos que el ordinal α sea de algún modo representable en la teoría para que la afirmación Con(ZFC α ) sea expresable. Por supuesto, en un lenguaje contable, sólo tenemos contablemente muchos enunciados, por lo que eventualmente debemos quedarnos sin ordinales representables).
La respuesta es que sus axiomas son los pre-principios de la gran jerarquía cardinal, como insinuaron Kristal Cantwell y Dorais. Si hay un cardinal (fuertemente) inaccesible κ, entonces V κ es un modelo de ZFC, y por lo tanto su teoría ZFC 1 retenciones.
Pero yo afirmo mucho más, y a partir de una hipótesis más débil. Uno no necesita un cardinal inaccesible incluso para saber que todos la ZFC expresable α son coherentes.
Afirmo que si existe un modelo ω de ZFC, entonces todas las ZFC expresables α son verdaderos y coherentes.
Para ver esto, supongamos que M es un modelo ω de ZFC. Esto significa que M tiene los números naturales estándar. De esto se deduce que los ordinales de M están bien fundados para cierta distancia por encima de ω, pero pueden llegar a estar mal fundados mucho más arriba. Puesto que M tiene los mismos números naturales que nosotros en la metateoría, se deduce que M tiene exactamente las mismas fórmulas en el lenguaje de la teoría de conjuntos y, lo que es más importante, exactamente las mismas pruebas. Así, para cualquier teoría T que exista en M, será consistente en M si y sólo si es consistente.
Esto es suficiente para llevar a cabo un interesante argumento de aceleración. A saber, como M es un modelo de ZFC, se deduce que ZFC es consistente para nosotros, y por tanto M concuerda, y por tanto M es un modelo de ZFC+Con(ZFC), es decir, de ZFC 1 . Así, ZFC 1 es consistente, por lo que M está de acuerdo en que ZFC 1 es consistente, por lo que M es un modelo de ZFC 2 . Así, ZFC 2 es consistente, por lo que M concuerda, y por tanto ZFC 3 es coherente, y así sucesivamente. ¿Ves cómo funciona? Si ZFC α es consistente, entonces M estará de acuerdo (si α está en M), y por tanto ZFC α+1 también es coherente. (Y las etapas límite son básicamente libres, ya que las pruebas son finitas).
Así que el esquema de las teorías ZFC α forma una jerarquía de fuerza de consistencia que se sitúa muy por debajo del principio de la gran jerarquía cardinal. Creo que gran parte del sentido de tu pregunta es éste:
- Sabemos por el teorema de Incompletitud que ninguna teoría puede demostrar su propia consistencia, y por eso queremos considerar teorías que trascienden esta consistencia de la forma que usted describe.
Y esto es exactamente lo que proporciona la gran jerarquía cardinal. Cada nivel de la gran jerarquía cardinal implica la consistencia de los niveles inferiores, y la consistencia de la consistencia y así sucesivamente, iterando al estilo de tus preguntas. Pero los grandes cardinales son capaces de saltar más alto que estos pequeños pasos de consistencia, encontrando axiomas naturales que implican la consistencia de todas las iteraciones del proceso de consistencia que describes para los niveles inferiores.
Acabo de fijarme en la parte final de tu pregunta, sobre si los resultados de la independencia también son válidos para ZFC α . Esta es una pregunta muy interesante, y la respuesta es Sí, todos funcionan igual. La razón es que todos los resultados de independencia, demostrados por forzamiento o por el método de los modelos internos, tienen la propiedad de que los modelos resultantes tienen las mismas verdades aritméticas que el modelo original. Dado que los enunciados de consistencia que está considerando son enunciados aritméticos, no se ven afectados por el forzamiento o los modelos internos. En particular, la prueba de Cohen de que Con(ZFC) implica Con(ZFC+¬CH) se convierte directamente en una prueba de que Con(ZFC α ) implica Con(ZFC α +¬CH). Si se formaliza una versión de (ZFC+¬CH) α se deduce que será equivalente a ZFC α +¬CH. Y lo mismo vale para todos los demás resultados de indpendencia que conozco.
