Demostrando que $|e^z - 1|\leq |z|$

Question

Supongamos que $z$ es complejo con $\text{Re}(z) \leq 0$ .

Intento demostrar que $$ |e^z - 1| \leq |z|$$

y, del mismo modo,

$$ |e^z - z - 1| \leq |z|^2/2$$ retenciones.

La formulación del ejercicio tipo de pistas a la expansión en serie de $e^z$ a saber,

$$ e^z - 1 = z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + o(z^4)$$

y de forma similar con $e^z - z - 1$ . En $o(z)$ términos probablemente podrían descartarse aplicando la desigualdad triangular, es decir,

$$ |e^z - 1| = |z + o(z^2)| \leq |z|+|o(z^2)|$$

y

$$ \left|e^z -z -1 \right| = \left|\frac{z^2}{2} + o(z^3) \right| \leq \left|\frac{z^2}{2}\right|+|o(z^3)|$$

pero no veo por qué necesitábamos la parte real negativa aquí. Desde $z$ es complejo y no estoy acostumbrado a eso, siento que me estoy perdiendo algo (es decir, pensando en ello, no estoy del todo seguro de que $|z^2|=|z|^2$ en este caso). ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Sea $z=a+bi$ con $a\le 0$ . Entonces, $$ |e^z-1|^2=e^{2a}-2e^a\cos b+1=(e^a-1)^2+2e^a(1-\cos b) $$ $$ \le (e^a-1)^2+e^ab^2\le (e^a-1)^2+b^2 $$ (He utilizado las desigualdades $e^a\le 1$ para $a\le 0$ et $1-\cos b\le b^2/2$ .

Terminamos observando que $(e^a-1)^2\le a^2$ para $a\le 0$ .

Answer 2

@ Robert, tienes razón. Se puede proceder por inducción. Suponiendo que $|e^z-\frac{z^n}{n!}-\dots -z-1|\le \frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}$ se puede demostrar que también se cumple con $n$ sustituido por $n+1$ exactamente de la misma manera que se procede para demostrar la desigualdad para $n=1$ del caso $n=0$ .

Esto funciona simplemente porque la derivada de $e^z-\frac{z^{n+1}}{(n+1)!}-\dots -z-1$ es precisamente $e^z-\frac{z^{n}}{n!}-\dots -z-1$ . Utilizando la hipótesis inductiva se llega al límite superior $\int\frac{|\gamma|^{n+1}(t)}{(n+1)!}|\gamma'(t)|dt$ que es igual a $\frac{|z|^{n+2}}{(n+2)!}$ .

Answer 3

Configuración

$z = x + iy \tag 1$

con

$x \le 0, \tag 2$

encontramos que

$\vert e^z \vert = \vert e^{x + iy} \vert = \vert e^x \vert \vert e^{iy} \vert = e^x \le 1; \tag 3$

si $\gamma(t)$ es el camino que une $z$ et $w$ en el semiplano $\{u \in \Bbb C, \Re(u) \le 0 \}$ dado por

$\gamma(t) = tw + (1 - t)z = z + t(w - z), \tag 4$

entonces como $e^z$ es la primitiva de sí mismo, es decir, $(e^z)' = e^z$ podemos escribir

$e^w - e^z = \displaystyle \int_0^1 (\exp(\gamma(t))' \; dt$ $= \displaystyle \int_0^1 \exp(\gamma(t)) \gamma'(t) \; dt = \int_0^1 \exp(\gamma(t)) (w - z) \; dt; \tag 5$

por tanto, en virtud de (3),

$\vert e^w - e^z \vert \le \displaystyle \int_0^1 \vert \exp(\gamma(t)) \vert \vert w - z \vert \; dt \le \vert w - z \vert; \tag 6$

configure

$w = 0 \tag 7$

y encontrar

$\vert e^z - 1 \vert = \vert e^z - e^0 \vert \le \vert z \vert, \tag 8$

que es la primera desigualdad deseada; a continuación, obsérvese que

$(e^z - z - 1)' = e^z - 1; \tag 9$

$e^z - z - 1 = (e^z - z - 1) - (e^0 - 0 - 1) = \displaystyle \int_0^1 (\exp(\gamma(t) - 1)) \gamma'(t) \; dt, \tag{10}$

por lo que, utilizando (8),

$\vert e^z - z - 1 \vert \le \displaystyle \int_0^1 \vert \exp(\gamma(t) - 1 \vert \vert \gamma'(t) \vert \; dt$ $\le \displaystyle \int_0^1 \vert \gamma(t) \vert \vert \gamma'(t) \vert \; dt = \int_0^1 \vert (1 - t)z \vert \vert z \vert \; dt = \vert z \vert^2 \int_0^1 (1 - t) \; dt = \dfrac{\vert z \vert^2}{2}, \tag{11}$

la segunda desigualdad cuya prueba se buscaba. $OE\Delta$ .

Nota Bene: Llegados a este punto, no puedo evitar preguntarme si estos resultados no podrían ampliarse para demostrar que

$\left \vert e^z - \displaystyle \sum_0^n \dfrac{z^k}{k!} \right \vert \le \dfrac{\vert z \vert^{n + 1}}{(n + 1)!}, \tag{12}$

o alguna desigualdad similar; sospecho que esto es así pero aún no tengo una prueba completa, sólo ideas; por ejemplo, podemos ser capaces de construir (11) para mayores $n$ desigualdades para los menos favorecidos. $n$ de forma análoga a como hemos llegado a (11) basándonos en (8), etc. etc. etc. Fin de la nota.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$|e^{z}-1|=|\int_{0}^{z}{e^{s}ds}|\leq \int_{0}^{z}{|e^{s}||ds|}= \int_{0}^{z}{e^{\Re(s)}|ds|}\leq \int_{0}^{z}|ds|=|z|$$

Desde $\Re(s)\leq 0.$