Encontrar la base de la fila A

Question

Verdadero o falso: Si $B$ es cualquier forma escalonada de matriz $A$ y si $B$ tiene tres filas distintas de cero, entonces las tres primeras filas de $A$ forman una base para Row $A$ .

Solución: Falso. Las operaciones con filas pueden cambiar las relaciones de dependencia lineal lineal entre las filas de una matriz.

Pensaba que para encontrar la base de un espacio de filas, tendríamos que ponerlo en forma de escalón de filas, lo que implicaría operaciones con filas. Si está en forma escalonada, ¿no estarían las tres filas no nulas en la parte superior y las filas nulas en la parte inferior, y así poder concluir que la afirmación es cierta

Answer 1

Por supuesto, las operaciones de fila modifican las relaciones de dependencia lineal entre las filas; en cambio, nunca modifican el espacio de fila.

Supongamos que $A$ es un $m\times n$ y que $F$ sea un invertible $m\times m$ matriz. Entonces $$ \operatorname{Row}(A)=\operatorname{Row}(FA) $$ De hecho, cualquier elemento de $\operatorname{Row}(A)$ puede verse como $rA$ donde $r$ es un $1\times m$ matriz. Dado que $$ rA=(rF^{-1})FA, $$ vemos que $rA\in\operatorname{Row}(FA)$ . Lo contrario es similar: $$ r(FA)=(rF)A\in\operatorname{Row}(A). $$

Un hecho fundamental sobre la reducción de filas es que una forma reducida de filas $B$ de la matriz $A$ puede obtenerse premultiplicando sucesivamente $A$ por una matriz invertible adecuada; así, al final, $B=FA$ para alguna matriz invertible $F$ .

Dado que las filas no nulas de una forma escalonada reducida son linealmente independientes y su número es el rango de la matriz, forman una base para el espacio de filas.