$\mathbb{RP}^3$ es homeomorfa a la bola sólida con puntos antípodas identificados

Question

Estoy leyendo el libro Application of Path integrals de Schulman, que tiene un capítulo sobre aplicaciones de la teoría de homotopía a las integrales de camino. En él dice que podemos describir geométricamente $SO(3)$ por una bola sólida (tridimensional) de radio $\pi$ y con puntos antípodas identificados. Cada punto de la bola a distancia $\phi$ desde el centro, representa una rotación alrededor del eje que pasa por ese punto y el origen, y el ángulo de rotación $\phi$ . Más adelante escribe "El espacio proyectivo 3 es homeomorfo a la bola sólida descrita anteriormente". Me imagino $\mathbb{RP}^3$ para ser la 3-esfera con puntos antipodales identificados.

¿Cómo es esto homeomorfo a la bola sólida descrita anteriormente?

Answer 1

Podría ayudar a la intuición considerar el caso de $\mathbb{RP}^2$ primero: puede verse como el cociente o el espacio de identificación de $S^2$ en el que se identifican los puntos antípodas, o como el espacio cociente de un disco sólido 2 $D^2$ con puntos antípodas en la $S^1$ límite identificado. Sólo estamos haciendo una afirmación análoga en tres dimensiones.

Mi definición preferida de espacio proyectivo es el conjunto de líneas que pasan por el origen (topologizadas adecuadamente). Si consideramos primero una esfera centrada en el origen, entonces cada una de esas líneas interseca la esfera en dos puntos antípodas, y éstos se identifican así como en el primer modelo. Por otro lado, podríamos considerar sólo el hemisferio norte (el conjunto de puntos de la esfera donde $z \geq 0$ ) y jugar al mismo juego; aquí cada línea golpea la semiesfera sólo una vez, a menos que la línea se encuentre en el plano $z = 0$ donde choca dos veces con el ecuador en dos puntos antípodas, que quedan así identificados. Se obtiene así el segundo modelo (puesto que la semiesfera es homeomorfa a un sólido $2$ -disco $D^2$ ).

Lo mismo ocurre en tres dimensiones. Dudo que necesite los detalles formales, aunque se los podría facilitar si fuera necesario.