Estrellas y barras ampliadas en las que el límite superior de una variable es una de las otras variables

Question

Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x + y + z + w = 20, donde x>y.

Empecé sustituyendo x por una nueva variable x'=x-y:
x > y
x-y > 0
x'>0

Sin embargo, esto me llevó a un punto desde el que no sabía cómo avanzar:
x'+ 2y + z + w = 20

¿Cómo debo tratar el 2y?

(la respuesta proporcionada fue 825)

Answer 1

Por simetría, el número de soluciones con $x>y$ es el mismo que el número con $x<y$ por lo que la respuesta es "la mitad del número de soluciones donde $x\neq y$ ." Yo lo haría restando las soluciones con $x=y$ del número total de soluciones.

Estrellas y barras da el total de soluciones, por lo que ahora necesitamos saber el número de soluciones a $$2x+w+z=20$$ en enteros no negativos. Para un $x$ esto es solo $21-2x$ así que es fácil sumarlos.

Answer 2

$$x+y+z+w=20\tag{1}$$

En primer lugar dice $x \gt y$ así que $x=y+x'+1$ donde $x'\ge 0$ .

Esto da

$$x'+2y+z+w=19\, .$$

Así que desde $2y$ es siempre incluso , $x'+z+w$ debe ser impar lo que significa los tres variables son impar o simplemente un es.

1. Si los tres son impar entonces di $x'=2x''+1$ , $z=2z''+1$ , $w=2w''+1$ , dando

\begin{align}&& 2(x''+y+z''+w'')&=16\\[1ex] &\implies& x''+y+z''+w''&=8\, ,\end{align}

que tiene $\binom{8+3}{3}$ soluciones enteras no negativas mediante barras y estrellas.

2. Si sólo uno es impar , digamos $x'=2x''+1$ entonces los otros dos deben ser pares: $z=2z''$ , $w=2w''$ esto da

\begin{align}&& 2(x''+y+z''+w'')&=18\\[1ex] &\implies & x''+y+z''+w''&=9\, ,\end{align}

que tiene $\binom{9+3}{3}$ soluciones enteras no negativas mediante barras y estrellas. Sin embargo, existen 3 opciones para nuestra variable impar por lo que es $3\binom{9+3}{3}$ soluciones totales para este caso.

Sumando ambos casos tenemos un gran total de

$$\binom{8+3}{3}+3\binom{9+3}{3}=825\tag{Answer}$$

soluciones enteras no negativas de $(1)$ con $x\gt y$ .