multiplicación tensorial 3d

Question

Soy nuevo en la teoría de los tensores y tengo una pregunta.

Es fácil saber cómo multiplicar un $2d$ con otro tensor $2d$ tensor: $$A_{ij} \times B_{jk} = C_{ik}$$ Sin embargo, ¿puedo multiplicar un $3d$ con otro tensor $3d$ ¿Tensor? En caso afirmativo, por favor dígame cómo o deme una lectura de referencia.

Muchas gracias.

Answer 1

A $k$ -puede definirse vagamente como un tensor $k$ -matriz multidimensional de números $(a_{i_1\cdots i_k})_{1\leq i_1,\ldots,i_k\leq n}$ que se comporta "adecuadamente" ante cambios de coordenadas. El ejemplo de su pregunta ( $A_{ij} \times B_{jk} = C_{ik}$ ) es el denominado contracción de tensores, es decir, sumamos sobre un índice de cada uno para que sólo queden los otros índices. Otro tipo de multiplicación es $A_{ij} \cdot B_{pq} =: D_{ijpq},$ es decir, multiplicamos el $2$ -por coordenadas, de modo que obtengamos un $4$ -tensor dimensional. En realidad, esta operación se denomina producto tensorial . Si se dispone de más índices, el funcionamiento es completamente análogo. Por ejemplo, podemos contraer un $3$ D y a $4$ D a un tensor $((3-1)+(4-1) = 5)$ tensor D: $$ \sum_{j=1}^n X_{ijk}Y_{abjc} = Z_{ikabc}. $$ Por supuesto, puede "contraerse" utilizando otros pares de índices.

Para leer, puede empezar por aquí: Tensor , Contracción , Álgebra multilineal , Convención de suma de Einstein , Tensor mixto , Mapa multilineal .